Równanie z pierwiastkami Sylwia: Proszę o pomoc: √ x + 6 + 2√x+5 + √ x − 1 − √x+5 = 4 Po podstawieniu zacięłam się na linijce: √ (t+1)² + √ t² −t −6 = 4 i nie wiem co z tym dalej zrobić...

ICSP: podnieś obustronnie do kwadratu. Tylko dziedzinę ustal.

Sylwia: podnosiłam tylko straszne liczby mi wychodziły. Nie potrafiłam tego zrobić. Spróbujesz i powiesz co Ci wyszło?

Vax: Mam lepszy pomysł, po lewej stronie mamy złożenie 2 funkcji rosnących co jest funkcją rosnącą, czyli przetnie funkcję stałą tylko raz, łatwo odgadujemy że x=4.

Sylwia: ale jak mam to zapisać? Tak słownie, że lewa strona składa się z sumy dwóch funkcji liniowych, które przetną tę funkcję po prawej stronie raz?

Trivial: Tak.

ICSP: bardzo brzydkie liczby wychodzą. Chyba lepiej będzie napisać tak jak Vax

Sylwia: ale skąd wiadomo, że ta funkcja po lewej przetnie tą po prawej akurat dla x=4?

Sylwia: Bo nie mogę zapisać tego bez jakiegoś stosownego uzasadnienia.

Vax: Ustalając dziedzinę widzisz, że x ≥ 4, teraz po prostu strzelasz, można zauważyć, że mamy √x+5, chcemy, aby to było naturalne, czyli liczba podpierwiastkowa była kwadratem, czyli tutaj np 9 = 3², x+5=9 ⇔x=4, jest w dziedzinie i pozostaje sprawdzić, że faktycznie jest rozwiązaniem.

Sylwia: po prostu "strzelać"? No ok, niech będzie.

Trivial: Jeszcze sposób w miarę prosty, bez zgadywania... Proponuję rozwiązanie z połowiczną dziedziną, czyli podstawienie tylko dla zwiększenia przejrzystości, gdyż liczenie dziedziny może samo w sobie zabrać dużo czasu. Po otrzymaniu wyniku sprawdzimy czy 'działa'. u = √x+5, zatem u ≥ 0. u² = x+5 → x+6 = u²+1 → x−1 = u²−6 √u²+1+2u + √u²−6−u = 4 √(u+1)² + √u²−u−6 = 4, ale (u+1) > 0, czyli: u+1 + √u²−u−6 = 4 √u²−u−6 = 3−u /² ... Nie jest tak źle.

Vax: Czyli inaczej mówiąc metoda analizy starożytnych, liczysz, na nic nie patrzysz i na koniec sprawdzasz co działa

Trivial: Moja ulubiona.

Trivial: Vax, co teraz przerabiasz w szkole? Wiesz już więcej od swojego nauczyciela?

Vax: Od soboty siedzę w domu, bo chory jestem A tak to przerabiam zadania z OM, bo jeszcze trochę mi zostało, nauczyciel na szczęście pozwala mi robić na lekcji co chcę, więc nie ma problemu

Vizer: Nie siedź już więcej w domu, bo zaległości z matmy zrobisz i co będzie

Sylwia: Dziękuję bardzo

AC: Przecież można to normalnie rozwiązać: √t² − t − 6 = 4 − |t + 1| ponieważ t > 3 opuszczamy moduł √t² − t − 6 = 3 − t do kwadratu t² − t − 6 = t² −6t + 9 ⇒ t = 3 ⇒ x=4

Trivial: Przecież tak właśnie to rozwiązałem.

AC: Tam warunek ma być t ≥ 3

Trivial: Dlaczego w ogóle t≥3? Przecież powinno być raczej t≤3.

AC: Sorry, stronę miałem nie odświeżoną.

AC: wyrażenie pod pierwiastkiem t² −t−6 ≥0 (t+2)(t−3)≥0

Trivial: To w takim razie z samej dziedziny wynika rozwiązanie, bo po prawej masz coś, co również powinno być ≥ 0 → stąd t≤3, czyli t=3.

AC: No fakt!