zaliczeniowe Magda: Dla jakich argumentów wielomian W(x)=x³ +bx² +cx +d przyjmuje wartości dodatnie, jeśli wiadomo, że kolejne jego współczynniki są czterema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego i że liczba 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu?

Eta: Rozwiązuję!

Eta: Zacznijmy tak: 1, b, c, d --- tworzą ciąg geometryczny więc: b² = 1*c i c² = b*d ( z def. ciągu) ponad to z treści zad. W(2) = 0 to : W( 2) = 8 +4b +2c +d zatem : 4b +2c +d +8 =0 Otrzymaliśmy układ trzech równań z niewiadomymi b , c, d Rozwiązując ten układ otrzymamy : b²= c c² = b*d => b⁴ = b*d => b³ = d bo b≠0 4b +2c +d= - 8 podstawiając te wartości do trzeciego równania otrzymamy: 4b + 2b² +b³ +8=0 ( porzadkujemy i grupujemy wyrazy: ( b³ +2b²) +( 4b +8)=0 b²(b+2) +4( b +2) =0 ( b+2)( b²+4)=0 więc b = - 2 ( jest tylko jedno rozwiazanie bo b² +4 ≠0 w zb. R mając b= - 2 obliczamy wartości pozostałych współczynników b² = c => c= 4 b³ = d => d= - 8 Odp: b = -2 c= 4 d= - 8 wielomian ma zatem postać: W(x) = x³ - 2x² +4x - 8 teraz: W(x) > 0 ( bo ma miec wartości dodatnie) więc pozostaje rozwiązać nierówność: x³ - 2x² +4x - 8 >0 ( x³ - 2x²) + ( 4x - 8) >0 x²( x - 2) +4(x -2) >0 ( x - 2)( x² +4) >0 to x - 2 > 0 ( bo x² + 4 >0 dla x€R) zatem x > 2 x€ ( 2, ∞) Odp: W(x) >0 <=> x€ ( 2,∞)

Magda: Dzięki!