... nie umiem ;(: Trawnik w kształcie prostokąta o powierchni 128 m² ma być otoczony chodnikiem. Szerokości chodnika po przeciwległych stronach trawnika są takie same i wynoszą 2m i 1m . Jakie wymiary powinien mieć trawnik, aby chodnik zajmował najmniejszą powierzchnie?

Basia: 2 2 ..................................... .| | 1 | | | =========== | | | | | | | b | | | | a | | | =========== | | | 1 | | .................................... chodnik składa się z : - dwóch prostokatów o bokach b+2 i 2 - dwóch prostokatów o bokach a i 1 P_chodnika = 2*(b+2)*2 + 2*a*1 = 4(b+1) + 2a = 2a + 4b + 4 P_trawnika = a*b = 128 a, b > 0 a = 128/b P_chodnika = 256/b + 4b + 4 f(b) = 256/b + 4b + 4 f'(b) = -256/b² + 4 = (-256 + 4b²) / b² f'(b) = 0 ⇔ 4b² - 256 = 0 /:4 b² - 64 = 0 b² = 64 = 8² b = 8 znak pochodnej zależy tylko od licznika bo mianownik b² > 0 L(b) = 4b² - 32 wykresem tej funkcji jest parabola ramiona do góry miejsca zerowde - 8 i 8 ponieważ jednak b>0 rozpatrujemy tylko zachowanie L(b) w przedziale (0; +∞) b ∈(0; 8) ⇒ L(b) < 0 ⇒ f'(b) < 0 ⇒ f(b) maleje b∈(8; +∞) ⇒ L(b) > 0 ⇒ f'(b) > 0 ⇒ f(b) rosnie czyli dla b₀ = 8 funkcja f(b) osiąga minimum czyli b_min = 8 czyli a_min = 128/8 = 64/4 = 32/2 = 16 Trawnik powiniem mieć wymiary: 8 m i 16 m