Symetria osiowa - proszę o pomoc Xenia: Sprawdź, że punkty A, B, C, D takie, że A=(-1;4), B=(5;-2), C=(7;3), D=(4;6), są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD. a) Napisz równanie osi symetrii tego trapezu b) Przekształć trapez przez symetrię względem początku układu współrzędnych i podaj współrzędne otrzymanych wierzchołków c) Wyznacz wektory zawierające przekątne trapezu d) Przesuń trapez o wektor [-1;3] i podaj współrzędne otrzymanych wierzchołków e) Narysuj wykres Bardzo was proszę o pomoc bo mam braki ze wzgledu na chorobę i nie mam pojęcia jak się za to zabrać.

Basia: a równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty umiesz napisać ?

Xenia: Czy to jest to: x'=-x y'=-y

Basia: zupełnie nie; to są wzory określające symetrię środkową względem początku układu współrzędnych

Xenia: y=ax+b y=ax+b

Xenia: To chyba będzie to, tylko co mam gdzie podstawić?

Basia: równanie prostej prze chodzącej przez A i B wygląda tak: y_b - y_a y - y_a = ---------------- *(x - x_a) x_b - x_a -2 - 4 y - 4 = --------------- *(x - (-1)) 5 - (-1) -6 y - 4 = -------- * (x+1) 6 y - 4 = -1*(x+1) y -4 = -x -1 y = -x - 1 + 4 y = -x + 3 -------------------------- pr.AB y = -x + 3 napisz teraz równanie prostej CD; policz sobie na kartce i podaj mi tylko wynik, tak jest łatwiej

Xenia: y=-x+6

Xenia: przepraszam że tak długo ale coś mam z netem

Basia: To nie Ty; to coś ze stroną, ale ten wynik nie jest całkiem dobry; zaraz to napiszę

Basia: y_d - y_c y - y_c = ---------------- *(x - x_c) x_d - x_c 6 - 3 y - 3 = ---------- *(x - 7) 4 - 7 3 y -3 = --------- *(x-7) -3 y - 3 = -1*(x-7) y - 3 = -x + 7 y = -x + 10 ----------------------------- pr.AB y = -x + 3 pr.CD y = -x + 10 to co można o tych prostych powiedzieć ?

Xenia: Oj przepraszam, zamiast x_c wstawiłam y_c

Xenia: że są równoległe?!

Basia: oczywiście, są równoległe bo mają ten sam współczynnik kierunkowy a = -1 czyli odc.AB || odc.CD; czyli na pewno mamy do czynienia z trapezem aby pokazać, że jest równoramienny trzeba policzyć |BC| i |AD| jeżeli |BC| = |AD| to trapez jest równoramienny |BC| = √(x_c-x_b)² + (y_c-y_b)² |AD| = √(x_d-x_a)² + (y_d-y_a))² policz i napisz ile Ci wyszło

Xenia: punkt b) zrobiłam chyba dobrze A'=(1;-4), B'=(-5;2), C'=(-7;-3), D'=(-4;-6) ale nie bardzo wiem co zrobić w punkcie c)

Xenia: już liczę

Basia: tak; (b) jest w porządku

Xenia: |BC|=√29 |AD|=√29

Basia: ok. czyli mamy trapez równoramienny osią symetrii trapezu równoramiennego jest prosta przechodząca przez środki jego podstaw M - środek AB N - środek CD x_m = (x_a+x_b)/2 = (-1+5)/2 = 2 y_m = (y_ayb)/2 = (4-2)/2 = 1 M(2,1) x_n = (x_c+x_d)/2 = (7+4)/2 = 11/2 y_n = (y_c+y_d)/2 = (3+6)/2 = 9/2 N(11/2 , 9/2) i trzeba napisać równanie prostej MN ( to już potrafisz) za chwilę (c)

Basia: przekatne to BD i AC → BD = [x_d-x_b ; y_d - y_b] = [ 4-5 ; 6+2 ] = [ -1 ; 8 ] → AC = [x_c-x_a ; y_c- y_a] = [ 7+1 ; 3-4 ] = [8 ; -1 ] tak na marginesie te wektory są prostopadłe bo (-1)*8 - 8*(-1) = -8 + 8 = 0 → → → → czyli cos(BD;AC) = 0 czyli kąt(BD;AC) = 90⁰ ale to juz nie należy do zadania

Basia: czy z resztą zadania już sobie poradzisz ?

Xenia: A prosze powiedz mi jeszcze w równaniu prostej MN wyszło mi y=x-1, czy dobrze?

Basia: poczekaj chwileczkę muszę policzyć

Xenia: jeszcze jedno pytanie, który trapez mam przesunąć o wektor [-1;3] w (d) ABCD czy A'B'C'D'?

Basia: tak, wyszło mi tak samo

Basia: wydaje mi się, że ten poczatkowy ABCD

Xenia: To resztę juz zrobię, serdecznie dziekuję za pomoc.

Basia: to zadanie jest tak sformułowane, że właściwie nie wiadomo czy punkty (c) i (d) dotyczą trapezu ABCD czy trapezu A'B'C'D'; ja bym to zrobiła dla ABCD albo poprosiła autora zadania o wyjaśnienie ostatecznie można zrobić w dwóch wersjach bo (c) i (d) to już niewielkie rachunki

Xenia: czyli może lepiej jak zrobie z osobna jedno i drugie, bo sama nie wiem a nie chce oblać

Basia: Tak będzie najlepiej. Życzę powodzenia. Miło się z Tobą współpracowało. Dobranoc.

Basia: Teraz przerywam, ale za jakąś godzinkę jeszcze tu zajrzę. Jakby coś nie grało pisz.

Xenia: Jeszcze raz bardzo dziękuję, dobranoc.

Xenia: Coś mi nie wychodzi z tymi przekatnymi, wektory po obliczeniu i zaznaczeniu wyszły mi w jakiś dziwnych miejscach, wogóle nie pokrywaja się z wykresem trapezu ABCD.

Basia: współrzędne wektora nie określają jego punktu zaczepienia wektor AC = [8 ; -1 ] jest zaczepiony w punkcie A(-1,4) i ma koniec w C(7,3) "idąc" z A do C musimy przejść 8 jednostek w prawo i jedną w dół wektor BD = [-1;8] to znaczy tylko tyle, że idąc od B do D muszę przejść 1 w lewo i 8 do góry tyle mniej wiecej oznaczają współrzędne wektora po prostu narysuj wektor AC i wektor BD przesuwając o wektor w = [a;b] też tak postępujesz w prawo o a gdy a>0 w lewo o |a| gdy a<0 w górę o b gdy b>0 w dół o |b| gdy b<0

Basia: współrzędne wektora nie określają jego położenia jest nieskończenie wiele wektorów o takich samych współrzędnych każde dwa wektory równoległe, o równej długości i o tym samym zwrocie mają jednakowe współrzędne np. O(0,0) P(1,1) OP = [1;1] R(2,3) S(3,4) RS = [1,1] o tych wektorach mówimy, że są równe chociaż oczywiście na płaszczyźnie wcale się nie pokrywają w każdym punkcie płaszczyzny mogę zaczepić wektor o danych współrzędnych

Xenia: Aby zgadzało sie to z tym co czytam powyżej mósiałabym obliczyć wektor CA i wtedy współrzędne by sie zgadzały, ale nie wiem czy moge AC odwrócić?

Xenia: musiałabym*, przepraszam za błąd to z pośpiechu

Xenia: nie wiem dlaczego tak mi wychodzi, ale te przekatne pasuja do trapezu A'B'C'D'

Basia: tak; → → CA = -AC → → AC = [a;b] to CA = [-a;-b] to są wektory przeciwne → u Ciebie CA = [-8; 1] z C do A jest osiem w lewo i raz w górę chyba, że źle te punkty zaznaczyłaś

Eta: Basiu! KOBIETO! Zobacz jakie piękne kwiaty dostałyśmy od Bogdana w nicku "kwiatuszek" Dobrej Nocki! do jutra

Xenia: Właśnie sprawdziłam i dobrze zaznaczyłam, w AC musiałabym przejść 8 w prawo i 1 w dół to wyląduję na punkcie (16;-2)

Xenia: Nie wiem co robie nie tak.

Basia: bo muszą; ABCD i A'B'C'D' są przystające AB || A'B' BC || B'C' CD || C'D' i AD || A'D' wektory AC i A'C' są równe i wektory BD i B'D' są równe (są równoległe; mają tę samą długość i ten sam zwrot) żeby to zrozumieć narysuj sobie jakikolwiek równoległobok ABCD w ukł.wsp. → → → → AB = DC BC = AD i oczywiście mają takie same współrzędne np. A(1,1) B(3,2) C(0,4) D(-2,3) policz wsp. AB i DC zobaczysz, że są takie same tak samo BC i AD

Basia: nie A(-1,4) idziesz 8 w prawo to jest -1+8 = 7 idziesz 1 w dół to jest 4-1=3 i masz punkt C(7,3) nie idziesz "od wektora" idziesz od początku wektora czyli punktu A do jego końca czyli punktu C

Xenia: wyszły takie same BC=(-3;2) AD=(-3;2)

Xenia: Wektory w zadaniu mają zawierać przekątne trapezu, co to oznacza? Dla mnie przekątna to coś podzielonego na pół.

Xenia: acha, chyba że tak, to gdzie mam dokładnie na wykresie zaznaczyć wektor? chyba tak jak współrzędne wskazują?

Xenia: Wybacz mi że Cie tak męcze po nocach, ale spokoju mi to nie daje.

Basia: Nie, przekatna to odcinek łączący dwa dowolne (nie sąsiadujące ze sobą) wierzchołki wielokąta. W każdym czworokącie ABCD mamy dwie przekatne AC i BD. → → Odpowiadają im wektory AC i BD (lub AC i DB lub CA i BD lub CA i DB). Pięciokąt ABCDE ma przekatne: AC, AD, BD, BE, CE Trójkat nie ma przekatnych.

Xenia: teraz na roboczym rysunku poprowadziłam przerywana linię od wektora AC do punktu A a nastepnie C i od wektora BD do punktu B a nastepnie D i wyszły mo kolejne 2 punkty przecięcia wewnątrz trapezu, może to o to chodzi?

Basia: od A do C ( strzałka przy C) od B do D (strzałka przy D) bo tak były liczone

Xenia: Na oko to byłaby oś symetrii trapezu równoramiennego, bo ma tylko jedną

Basia: nie rysujesz żadnych linii "od wektora" rysujesz odcinek AC i strzałkę przy C ( to jest wektor AC, ma początek w A, koniec w C) rysujesz odcinek BD i strzałkę w D ( to jest wektor BD, ma poczatek w B, koniec w D) wektor tak jak odcinek łączy punkty; od odcinka różni sie tym, że ma zwrot; ten zwrot zaznaczamy strzałką; to wszystko

Basia: oś symetrii to prosta MN; pisałaś jej równanie

Xenia: A no tak, przepraszam pogubiłam się troche bo dosyć długie to zadanie, ale juz wracam do pisania go na czysto bo chyba juz wszystko wiem. W punkcie (d) tylko przesunąć na wykresie ten trapez, nie trzeba już rachunkowo tego wyliczac?

Basia: ja bym wyliczyła; to proste → u = [u₁;u₂} A'' = (x_a + u₁; y_a+u₂) u Ciebie: u = [-1;3] czyli: A'' = (-1-1;4+3) = (-2;7) B'' = (5-1;-2+3) = (4;1) C'' = (7-1;3+3) = (6;6) D'' = (4-1;6+3) = (3;9) jeżeli przesuwasz ABCD ('' bo ' już użyłaś przy innym przekształceniu) jeżeli przesuwasz A'B'C'D' analogicznie liczysz współrzedne A'''; B'''; C'''; D'''

Basia: Teraz już muszę kończyć. Jeszcze raz powodzenia. Dobranoc.

Xenia: Ogromne dzięki, nie wiem co bym zrobiła bez Twojej pomocy. Chyba zacznę tu częściej zaglądać, oczywiście jeśli będe miała takie problemy jak dziś. Mam nadzieję, że nie wykończyłam Cię moją dociekliwością. Szacuneczek, jeszcze raz dziekuję i dobranoc.