szeregi natka: pokaż zbieżność warunkowa szeregu od n=1 do nieskonczonosci: (−1)^{n n}_n²+1

Jack:

	n
∑n=0∞ (−1)n
	n2+1

	n
Niech an=(−1)n
	n2+1

Z kryterium Leibniza dla szeregu naprzemiennego mamy spełnione oba warunki: 1. lim_n→∞ a_n=0 (jasno widać, gdyż z mianowniku jest wyższa potęga niż w liczniku) 2. ciąg jest nierosnący co daje zbieżność.

	n		n
Dla szeregu ∑n=0∞ |(−1)n		|=∑n=0∞		można z kryterium ilorazowego
	n2+1		n2+1

dobrać inny szereg np. rozbieżny. Jeśli wyjdzie liczba dodatnia (tzn. a∊R₊), wówczas

	1
wyjściowy szereg jest również rozbieżny. Weźmy ∑		który jest rozbieżny.
	n

	n   n2+1		n2
limn→∞		=limn→∞		=1. Zatem szereg nie jest zbieżny, stąd
	1   n		n2+1

nasz szereg jest szeregiem zbieżnym lecz nie będącym zbieżnym bezwzględnie − więc jest szeregiem zbieżnym warunkowo.

natka: dzieki