Liczba podzielna przez 90 es: wykaż że 9⁸+9⁷+9⁶+...+9²+9 jest podzielne przez 90

ICSP: 9 + 9² + ... + 9⁸ = 9(1 + 9 + ... + 9⁷) 1 + 9 + ... + 9⁷ jest sumą wyrazó ciągu geometrycznego o ilorazie 9 wyrazie pierwszym 1 oraz o ilości wyrazów równej 8.

	1 − 98		(1−9)(1+9)(1+92)(1+94)
S8 = 1 *		=		= 10(1+92)(1+94)
	1−9		(1−9)

zapisujemy: 9 + 9² ... + 9⁸ = 90(1+9²)(1+9⁴) c.n.u. Jednak zapewne da się to zrobić w prostszy sposób.

Vax: Przekształcamy równoważnie: 9+9²+..+9⁸ == 0 (mod 90) /:9 1+9+9²+...+9⁷ == 0 (mod 10) 1+(−1)+(−1)²+...+(−1)⁷ == 0 (mod 10) 0 == 0 (mod 10) co jest prawdą, przekształcenia były równoważne więc teza jest prawdziwa, qed.

ICSP: Witaj Vax. Widzę że znowu wprowadzasz metody zbyt skomplikowane dla przeciętnego licealisty

Vax: Albo jeszcze inaczej: 9+9²+..+9⁸ = 9(1+9)+9³(1+9)+...+9⁷(1+9) = 10(9+9³+..+9⁷) = 90(1+9²+...+9⁶)

ICSP: to drugie rozumiem

Vizer: Ja nie rozumiem trzeciej linijki z modami

Vax: Zbyt skomplikowane jeżeli się z nimi nie spotkało wcześniej, wystarczy trochę o tym poczytać i już wiadomo o co chodzi, a to się BARDZO przydaje w tego typu zadaniach, ale w razie czego pokazałem inny sposób

Trivial: Kongruencje modulo! Tego mi było trzeba...

es: Powiem szczerze że dużo czasu zajeło mi zrozumienie tego ale dzięki wielkie już coś kumam

Gustlik: ICSP − nie musisz wyciągać 9 przed nawias, bo 9⁸+9⁷+9⁶+...+9²+9 to też ciąg geometryczny, tylko o wyrazie a₁=9 i ilorazie q=9 Mamy 8 wyrazów tego ciągu i obliczamy wartość ułamka kalkulatorem:

	1−98
S8=9*		=9*5380840 (celowo nie wymnażam)
	1−9

Wartość ułamka to 5380840, a więc jest podzielna przez 10 (cyfra jedności 0). Zatem 9*5380840 jest podzielne przez 90. c.n.d.

ICSP: [Gustlik]] Po co wymnażać ułamek skoro można go rozłożyć ze wzorów skróconego mnożenia?

1 − 98
	= U{(1−9)(1 + 9)(1+92)(1+94)}{1−9) = (1+9)(1+92)(1+94)
1−9

9 * (1+9)(1+9²)(1+9⁴) = 9 * 10 (1+9²)(1+9⁴) = 90(1+9²)(1+9⁴) Wykorzystujesz wzory które znasz i jest prosto bez dużych liczb.

ICSP:

(1−9)(1+9)(1+92)(1+94)
	− poprawiam ułamek który mi nie wyszedł.
(1−9)

Gustlik: Można, tylko nie każdy uczeń zauważy, że tu jest wzór skróconego mnożenia. Natomiast każdy ma kalkulator i sobie obliczy wartość tego ułamka.

Bogdan: Taki wytrawny nauczyciel twierdzi, że wykazując prawdziwość zdania wymienionego w treści zadania wystarczy zastosować kalkulator? Nie wierzę Gustliku, że to powiedziałeś! Czy wynik uzyskany kalkulatorem może być uznany za dowód?

Trivial: To krok w kierunku dowodów przez wolfram.

prosze o pomoc: 2 * 16^x − 2^4x ≤ 15 + 4^2x−2

Gustlik: Może i masz nieco racji, Bogdanie, ale jeżeli w wyniku obliczeń wychodzi liczba całkowita z cyfrą jedności 0 na końcu, to jest to liczba podzielna przez 10. Sposób ICSP − dobry, niemniej "moim" sposobem można sprawdzić poprawność rozwiązania. Pozdrawiam