trójkąt i jego pole gupol: zad.1 Oblicz wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka C na bok AB oraz pole P trójkąta, dy: A=(−6;−4), B=(2;8), C=(4;8) zad2. Punkty A=(−4;2), B=(5;−1) są wierzchołkami tórjkąta ABC oraz punkt M=(3;3) jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta. Oblicz pole P trójkąta ABC. Mam pomysł na te zadania ale rachunkowo mi nie wychodzi więc proszę o pomoc. moje rozwiązania: zad1. liczę długości AB=√208, AC=√116, BC=√260 podstawiam do wzoru p = abc/2 a później do wzoru Herona ale jak pisałam nie wychodzą mi rachunki proszę o pomoc. zad.2 obliczam długość boków AB=3√10, BM=2√5, AM= 5√2 później wzór na p i do wzoru Herona proszę o pomoc w rachunkach i odp czy dobry sposób.

Milenka: a jaki powinien byc wynik w 1 zad, wiesz?

gupol: w zadaniu 1 powinien być wynik : h= 38√13/13 oraz P = 76

Milenka: mi w pierwszym wychodzi P=16√3 Tobie tez?

Milenka: jeszcze raz to obl.

Milenka: no tak zle to mam

gupol: to może ja źle robie?

gupol: może trzeba innym sposobem...

Milenka: ja bym zrobila to tak. najpierw bym wyznaczyła wzor prostej AB potem z prostej prostopadłej wzor prostej potem punkt przeciecia np punkt D i potem obl dł odcinka CD czyli nasza wysokosc i AB juz masz i ze wzoru na pole ci powinno wyjsc

gupol: kurcze dużo roboty, na lekcji wszystko robiliśmy ze wzorów herona itp. coś mi tu nie pasuje bo mam przecież 3 boki więc na luzie powinnam to wyliczyć,

Milenka: rozumiesz mi o co chodzi? zrób sobie najpierw rysunek, zaznacz 3 pky na ukl. współrz. A B C połacz i wyjdzie ci taki smieszny trojkat potem wrysuj sobie wysokosc ktora jest poprowadzona z pkt c na prosta AB a wiesz jaka jest def. wysokosci w trójkacie bo duzo os ób nie wie i wlasnie wtedy sie czesto mysli w tych zadaniach

Milenka: acha to to zrób wzorem herona

gupol: spróbuje jeszcze raz wyliczyć bo mam na razie tak:

gupol: p=√29+√65+2√13 czyli p−a = √65+2√13, p−b= √29+2√13, p−c=√29+√65

Milenka: a podaj mi wzor herona bo nie pamietam

gupol: P = √p(p−a)(p−b)(p−c)

Milenka: mi wyszły całkiem inne dl boków niz tobie tylko AB mi sie zgadza i wyszło mi 4√13 sprawdz to, oki

gupol: ok...

gupol: grrr w pierwszym zad C = (4:−8)

gupol: Ab wyszło mi nadal √208

gupol: wszystkie boki wyszly mi takie jakie podalam

Bogdan: Zad. 1. h − wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka C(4, 8) na bok AB.

	12		3
Prosta zawierająca A i B: y = ax + b, a =		=		,
	8		2

	3
y =		(x − 2) + 8 /*2 ⇒ 2y = 3x − 6 + 16 ⇒ 3x − 2y + 10 = 0
	2

	|3*4 − 2*8 + 10|		6
h =		=
	√9 + 4		√13

|AB| = √64 + 144 = √208 = 4√13

	1
Pole trójkąta ABC PABC =		|AB|*h = ....
	2

Milenka: no tak bo ty na pocztku podales inny pkt c dlatego mi wyszlo wtedy inaczej

gupol: na co był wzór h? nie pamietam nie przypominalism ytego

gupol: aa na wysokośc

gupol: a jaki byl wzor na a

gupol: oraz h

Milenka: no najlepiej to zrobic tak jAK BOGDAN

Milenka: NA H KORZYSTASZ ZE WZORU WYKORZYSTUJAC PROSTA I PKT

gupol: ale już h się nie zgadza...

gupol: wyszło Ci 6/√13 a powinno h= 38√13/13

Milenka: W LICZNIKU |Ax+By+C| W MIANOWNIKU P{A²+B²}

gupol: i?

gupol: umie ktos ztrobic to zadanie

Milenka: NO TERAZ DOBRZE WYJDZIE PODSTAW DO WZORU

Milenka: W LICZNIKU BEDZIE |3*4+8*2+10|=12+16+10=38 W MIANOWNIKU P{13} POTEM USUWASZ NIEWYMIERNOSC Z MIANOWNIKA I MASZ H

Milenka: TERAZ JUZ WIESZ JAK TO ZROBIC?

gupol: nie bo

gupol: h wyjdzie 6√13/13 a nie 38√13/13

gupol: aa dobra czaje hcyba

gupol: dziekuje a drugie?

gupol: jak sie liczy to a

Milenka: to juz wiesz jak zrobic to pierwsze zad czy nie?

gupol: tak pierwsze tak a jak bylo w tym wzorze na h, ABC wiem skad a to x i y z jakiego punktu? na ktory pada wysokosc?

gupol: nie wiem nie pamietam tych wzorow a nie mam czasu zeby sobie przypomniec

Milenka: no przeciez ci napisałam jaki jest wzór i jakie liczby oiodstawic i idealnie ychodza w tym pierwszym zadaniu wynikijak w odp

gupol: dobra dzieki juz kumam

Gustlik: zad.1 Oblicz wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka C na bok AB oraz pole P trójkąta, dy: A=(−6;−4), B=(2;8), C=(4;8) Pole można z wyznacznika wektorów − opis tej metody jest tutaj: https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=i18 Jest to NAJKRÓTSZA metoda wyznaczania pola trójkąta w układzie współrzednych i zachęcam goraco do zapoznania się z nią, również tych, co uczą się matmy na poziomie podstawowym. AB^→=B−A=[2−(−6), 8−(−4)]=[8, 12] AC^→=C−A=[4−(−6), 8−(−4)]=[10, 12] d(AB^→, AC*→)= | 8 12 | |10 12 | =8*12−12*10=−24

	1
Pole =		|d(AB→, AC*→)|=12
	2

Teraz wysokość za pomocą pola: Długość podstawy |AB|=√8*2+12²=p(208}=p(13*16}=4√13

	1
Pole =		|AB|*h
	2

	1
12=		*4√13*h
	2

12=2√13*h /:2√13 U{12}{2√13=h

	6√13
h=U{6}{√13=
	13

	6√13
Odp: P=12, h=
	13

Gustlik: Mały chochlik: |AB|=√8²+12², przez pomyłkę wcisnałem "*", reszta jest dobrze.

Gustlik: zad2. Punkty A=(−4;2), B=(5;−1) są wierzchołkami tórjkąta ABC oraz punkt M=(3;3) jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta. Oblicz pole P trójkąta ABC. Tu będzie trochę pracy. 1. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej AM − jest to wysokość poprowadzona z punktu A na bok BC. Będzie on potrzebny do wyznaczenia równania boku BC. Skorzystaj ze wzoru:

	yM−yA
aAM=		.
	xM−xA

2. Znając współczynnik kierunkowy prostej AM wyznacz równanie boku BC będącego podstawą dla wysokości AM − jako prostej prostopadłej do AM i przechodzącej przez dany punkt B. Skorzystaj

	1
ze wzoru aBC=−		− warunek prostopadłości prostych.
	aAM

	yB−yA
3. Oblicz współczynnik kierunkowy boku AB ze wzoru aAB=		− będzie on
	xB−xA

potrzebny do wyznaczenia równania wysokości CM opuszczonej na ten bok. 4. Wyznacz równanie wysokości CM jako prostej prostopadłej do AB i przechodzącej przez dany

	1
punkt M. Skorzystaj ze wzoru aCM=−		.
	aAB

5. Mając równania prostych BC i CM rozwiąż układ tych równań − otrzymasz współrzędne wierzchołka C. 6. Mając współtrzędne trzech wierzchołków A, B, C oblicz pole z wyznacznika wektorów AB^→ i AC^→, jak w zad. 1.