6|n^2-n jak to rozwiązać i co to jest?? duzy_rysiek: witam. mam takie zadanko 6|n²−n i zastanawiam się jak to rozwiązać czy to zadanie w ogóle podchodzi pod indukcje matematyczna czy nie? proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie tego zadanka. bardzo proszę

Vax: Powinno być raczej n³−n

duzy_rysiek: ja mam tak zapisane

Vax: No to nie działa np dla n=2, n=5

duzy_rysiek: proszę w takim razie o rozwiązanie 6|n³−n. jak to się robi i co to jest.

Vax: Zauważamy, że n³ − n = n(n²−1) = (n−1)n(n+1), jest to iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych, z czego przynajmniej jedna będzie parzysta, oraz jedna będzie podzielna przez 3, więc cały iloczyn będzie podzielny przez 2*3 = 6

duzy_rysiek: a można ten przykład rozwiązać za pomocą indukcji matematycznej?

Vax: Można, dla n=1 podzielność zachodzi, zakładamy, że zachodzi dla pewnego n: 6 | n³ − n I pokazujemy, że działa dla n+1: (n+1)³ − (n+1) = n³+3n²+3n+1 − n − 1 = n³+3n²+2n = (n³−n)+3n²+3n = (n³−n) + 3n(n+1) n³−n z założenia indukcyjnego dzieli się przez 6, a 3n(n+1) dzieli się przez 6, ponieważ jednym ze składników jest 3, a iloczyn n(n+1) jako iloczyn 2 kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez 2, więc ten wyraz dzieli się przez 3*2 = 6, czyli całe nasze wyrażenie jest podzielne przez 6, cnd.