Pomocy Kasiulka: Prostokąt przekształcono przez symetrię względem punktu leżącego na jego przekątnej. Określ położenie tego punktu, jeśli pole części wspólnej tego prostokąta i jego obrazu jest równe 1/4 pola prostokąta.

Basia: a, b - boki prostokąta ABCD S - środek symetrii (załóżmy, że lezy na BC) częścią wspólną prostokata i jego obrazu jest prostokąt, którego przekątna jest równa x = 2BS; ponadto prostokąt bęcdący częścią wspólną jest podobny do prostokąta ABCD y, z - boki prostokata, który jest częścią wspólną y/a = z/b az = by z = by / a ------------------- y*z = (a*b)/4 y*(by/a) = (a*b)/4 by²/a = ab/4 /*a :b y² = a²/4 y = a/2 ----------------- z = (b*a/2)/a = ab/2a z = b/2 ------------------- x² = y² + z² x² = a²/4 + b²/4 x² = (a²+b²) / 4 = d²/4 gdzie d = BD x = d/2 BS = x/2 = d/4 ------------------------ punkt S leży w odległości d/4 od jednego z wierzchołków prostokąta (niekoniecznie B, bo takie rozumowanie można przeprowadzić wybierając dowolny wierzchołek)

Kasiulka: dziękuje

Kasiulka: a mam jeszcze pytanie.. robiąc rysunek punkt S musi leżec na środku tej przektąnej?

Basia: absolutnie nie; gdyby S leżał w punkcie przecięcia przekatnych obraz A'B'C'D' pokrywałby się z ABCD (sprawdź na rysunku, że tak jest); S jest "w połowie połowy" przekątnej P - punkt przecięcia przekatnych ⇒ PS = SB (albo SA,SC,SD)

Kasiulka: dziekuje Ci bardzo

Kasiulka: a dałabyś rade wytłumaczyć mi jak zrobic do tego rysunek?

Kasiulka: y*(by/a) = (a*b)/4 by2/a = ab/4 <--- skąd się tu wzieło by2\a ? dlaczego nie by * y2 \a skoro w nawiasie mnoze każdy przez y

Basia: już Ci napisałam; P - punkt przecięcia przekątnych S - środek odcinka AP (lub BP lub CP lub DP) no a jak się przekształca w symetrii środkowej to chyba wiesz A,S,A' leżą na tej samej prostej; A i A' są po przeciwnych stronach punktu S i SA = SA' i tak samo dla B,C i D zresztą w każdym podręczniku masz to pokazane na rysunkach, a ja tu rysunku nie zrobię (patrząc na rysunki łatwiej zrozumieć)

Basia: liczbę y mnożysz przez ułamek by/a czyli y razy licznik; mianownik bez zmian czyli y*b*y/a = b*y²/a

Kasiulka: no wlasnie nie wiem jak sie to przekształca

Kasiulka: jestem zielona z matmy a zadania musze miec na już

Basia: no dokładniej już Ci tego nie jestem w stanie napisać Kasiu ten znak "/" to znak dzielenia 2*(1/2) to nie jest (1*2)/(2*2) tylko (2*1)/2 = 2/2 = 1 to chyba rozumiesz 2 razy po pól chleba to cały chleb i tak jest zawsze liczbacałkowita * (licznik / mianownik) = ( liczbacałkowita*licznik ) / mianownik 5* ( 2/3) = (5*2)/3 = 10/3 7*(1/14) = (7*1) / 14 = 7/14 = 1/2 (bo skracamy przez 7) i tak dalej

Kasiulka: tak to wiem ale chodzi mi o sam rysunek i przekształcanie w symetri srodkowej i osiowej

Basia: napisałam Ci wyżej jak się przekształca w symetrii środkowej S - środek symetrii; A - punkt do przekształcenia rysujesz prostą AS mierzysz cyrklem AS i taki sam odcinek odmierzasz na pr.AS po drugiej stronie punktu S to będzie A' B \ \ --------------A----------S----------A'----------------------- \ \ B' w symetrii osiowej względem prostej a jest tak: rysujesz prostą prostopadłą do a i przechodzącą przez A S - punkt przecięcia pr.a i prostej prostopadłej A' leży na prostopadłej po drugiej stronie pr.a tak, że SA = SA' B | A | | | | | a ------S|------------------ |---------------------------------------- | | | | A' | | B' i tak dalej

Kasiulka: to już chyba wiem dziekuje

Kasiulka: x2 = (a2+b2) / 4 = d2/4 gdzie d = BD x = d/2 BS = x/2 = d/4 jeszcze jedno mam pytanie.. juz ostatnie chyba skad to sie wzieło?

Basia: z tw.Pitagorasa d - przekatna prostokąta boki prostokata i przekatna tworzą trójkat prostokątny a,b to przyprostokatne; d - przeciwprostokatna czyli d² = a² + b² ----------------------------- wcześniej masz wyliczone y i z (czyli boki prostokata, który jest cz.wspólną) y = a/2 z = b/2 x - to przekatna tego małego prostokata x² = (a/2)² + (b/2)² = a² / 2² + b² / 2² = a² / 4 + b² / 4 = (a² + b²) / 4 = d² / 4 x² = d² / 4 = d² / 2² = (d/2)² x = d/2