granica funkcji wielu zmiennych gwiazda: lim ^{2x *y2} _{x² + y²} (x,y)→(0,0) Liczę granicę iterowane i po x wychodzi mi 0 a , po y 1 i mogę powiedzieć , po tym , że granica nie istnieje ?

Trivial: Tak. Ale polecam współrzędne biegunowe − prościej.

Trivial:

⎧	x = rcosφ
⎩	y = rsinφ

(x,y) → (0, 0) ⇒ r→0, φ dowolne (※)

	2xy2		2rcosφ*r2sin2φ
lim(x,y)→(0,0)		= lim※		= lim※ 2rcosφsin2φ = 0.
	x2+y2		r2

Czyli gdzieś masz błąd w obliczeniach. Granica to 0, bo dla dowolnego φ wyrażenie 2rcosφsin²φ dąży do zera.

gwiazda: Dzięki ale nas nie uczyli współrzędnych biegunowych jedynie podstawienia typu ( ¹_n, 0)

Trivial:

	1
Obie granice iterowane wynoszą 0, a podstawienia (		, 0) to liczenie z definicji.
	n

Zdecydowanie najłatwiej przejść na biegunowe.

Trivial: Dlaczego? Liczeniem z definicji i iterowaniem można tylko łatwo udowodnić, że granica nie istnieje albo uzyskać 'kandydata' na granicę, którą potem i tak należy udowodnić w inny sposób.

gwiazda: Rozumiem z tymi biegunowymi dzięki . W przypadku na biegunowym będzie tak ; lim ^x3+y3_x²+y² (x, y)→(0, 0) lim(x,y)→(0,0) ^{r3*cos3φ+r3*sin3φ}_{r²*cos²φ+r²*sin²φ}= lim(x,y)→(0,0) r*cosφ+r*sinφ=0?

Trivial: Tak, tylko trzeba zmienić zapis w limesie po tym jak przechodzisz na biegunowe. Zamiast (x,y) → (0,0) piszemy: r→0 φ dowolne. W moim przykładzie oznaczyłem to symbolem ※, żeby nie przepisywać.

gwiazda: Aha to wiem , i pytanie czemu w zeszłym przykładzie jest w mianowniku dałeś r² ?

Trivial: Ah, tylko że w zagadkowy sposób skracasz sinusy kosinusy.

r3cos3φ+r3sin3φ		r3(cos3φ+sin3φ
	=		=
r2cos2φ+r2sin2φ		r2(sin2φ+cos2φ)

	r3(cos3φ+sin3φ)
=		= r(cos3φ+sin3φ) → 0.
	r2

I przy zapisie ułamków używaj dużej literki U, będą czytelniejsze.

Trivial: warto zapamiętać, że przy współrzędnych biegunowych mamy: x²+y² = r². Skraca obliczenia.

Trivial: (jedynka trygonometryczna)

gwiazda: A teraz to wszystko wiem a jak są granicę z sin i cos też się da te współrzędne biegunowe?

Trivial: Da się zawsze, ale czy to uprości − nie wiadomo. Jakiś konkretny przykład?

gwiazda: Zrobiłam przykład , że lim(x,y)→(0,0) sin U{1}{{x²+y²} to sin {∞} to nie nie istnieje? a problem mam z innym.

Trivial:

	1		1
lim(x,y)→(0,0) sin		= lim※ sin		= [sin(∞)] = nie istnieje.
	x2+y2		r2

gwiazda:

	1−cos(x2+y2)
lim(x,y)→(0,0)		i tu pomysłu nie mam .Bo inne przykłady
	(x2+y2)*x2*y2

współrzędnymi biegunowymi wyszły tak jak uczyłeś .

Trivial:

	1−cos(x2+y2)
lim(x,y)→(0,0)		=
	(x2+y2)x2y2

	1−cos(r2)		1−cos(r2)
= lim※		= lim※		.
	r2*r2cos2φ*r2sin2φ		r6(sinφcosφ)2

Najpierw policzmy granicę

	1−cos(r2)		0		sin(r2)*2r
lim※		= [		] =H lim※		=
	r6		0		6r5

	sin(r2)		1
= lim※		*		= +∞.
	r2		3r2

	1−cos(r2)		+∞
A więc w granicy lim※		mamy sytuację [		].
	r6(sinφcosφ)2		(sinφcosφ)2

Teraz zauważamy: (sinφcosφ)² ≥ 0 i (sinφcosφ)² jest ograniczone − jest to zawsze jakaś liczba rzeczywista, która nie dąży do nieskończoności, a więc nie mamy nigdy symbolu nieoznaczonego

	∞		∞
[		], oraz [		] = ∞, zatem ostatecznie:
	∞		a

	1−cos(x2+y2)
lim(x,y)→(0,0)		= +∞.
	(x2+y2)x2y2

Trudny przykład.

gwiazda: Hehe wymiatasz Wiem przykłady w książce mamy trudne a na zajęciach 2 przykłady łatwe a resztę samemu . Wielkie dzięki , a przykładzie jak by były w granicy x−y to co się robi na współrzędnych biegunowych tak , żebym wiedziała jakby było na kolosie .

Trivial: x−y = rcosφ−rsinφ=r(cosφ−sinφ). Dużo zależy od przykładu. Czasem są takie sytuacje, gdzie trzeba rozpatrywać przypadki, jak np. tu: https://matematykaszkolna.pl/forum/100311.html

Trivial: Aha i trzeba uważać! Współrzędne biegunowe działają dobrze, gdy (x,y) → (0,0). Przy innych sytuacjach już trochę mniej...

Trivial: Wspomnę jeszcze tylko, że jeśli granica wychodzi zależna od φ, to znaczy, że nie istnieje. Przykład:

	x2		r2cos2φ
lim(x,y)→(0,0)		= lim※		= lim※ cos2φ = nie istnieje.
	x2+y2		r2

Teraz już wiesz wszystko, co trzeba.

gwiazda:

	x3−y3
Aha bo mam lim (x, y)→(1, 1)		i skoczyłam i zamieniła ze wzoru górę ze wzorów
	y−x

skróconego mnożenia i się skróci i wyjdzie −3

Trivial:

gwiazda: A co jeśli jest x, y i z też się da na współrzędne biegunowe ?

Trivial: Wtedy analogicznie korzystamy ze współrzędnych sferycznych:

⎧	x = rcosφcosθ
⎨	y = rsinφcosθ
⎩	z = rsinθ

(x,y,z) → (0,0,0) ⇒ r → 0; φ, θ − dowolne. Ale przyznam się, że takich przykładów nawet nie robiłem. Prawdopodobnie robi je się w taki sam sposób jak z biegunowymi.

Trivial: Dobra, ja już lecę. Zostawiam Cię z zabójczymi limesami.

gwiazda: Dzięki wielkie za pomoc wszystko już wiem

Daniel296: jak zrobic takie zadanko lim x→0 y→3 cosxy /y