algebra
Marlenka: Algebra
Znaleźć Imf i ich bazy dla następującego odwzorowania:
f(x1,...,x5)=(x1+x2+x3,x2+x3+x4,x3+x4+x5)
I licze tak:
(x1+x2+x3,x2+x3+x4,x3+x4+x5)=x1(1,0,0)+
x2(1,1,0)+x3(1,1,1)+x4(0,1,1)}+x5(0,0,1)
Czyli Imf=Lin{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)} ok i te wektory sa liniowo zalezne, wiec
co robie dalej aby wyznaczyc Imf?
13 wrz 09:17
Basia:
f(1,0,0,0,0) = (1,0,0)
f(0,0,0,1,0) = (0,1,1)
f(0,0,0,0,1) = (0,0,1)
α(1,0,0)+β(0,1,1)+γ(0,01)=(0,0,0)
(α,β,β+γ)=(0,0,0)
α=0
β=0
γ=0
(2)−(3) = (0,1,0) i już wiesz, że w tej przestrzeni są (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
to są wektory liniowe niezależne które wygenerują Ci całe R3
czyli masz:
f: R5 → R3
o ile dobrze pamiętam, bo to już tyle lat.........................
13 wrz 10:04
Marlenka: Mam pytanie skad wiedziałaś że tylko te 3 sie bierze?
f(1,0,0,0,0) = (1,0,0)
f(0,0,0,1,0) = (0,1,1)
f(0,0,0,0,1) = (0,0,1)
a potem 2 z 3 odejmujemy?
13 wrz 10:11
Basia:
1,0,0,0,0 oczywiste, bo dostanę (1,0,0)
0,0,0,0,1 też bo dostanę (0,0,1)
nie da się uzyskać (0,1,0) na to próbuję tak, żeby dostać (0,1,1) albo (1,1,0)
trudno mówić tu o jakiejś zasadzie, po prostu kombinuję
13 wrz 10:14
Basia:
źle się wyraziłam; da się uzyskać (0,1,0), ale nie tak wprost, więc albo sobie kombinuję,
albo rozwiązuję układ
x1+x2+x3=0
x2+x3+x4=1
x3+x4+x5=0
jednym z rozwiązań (a może i jedynym, ale chyba nie, ni chce mi się liczyć) jest (−1,1,0,0,0)
f(−1,1,0,0,0) = (0,1,0)
13 wrz 10:29
Basia:
metoda mniej intuicyjna:
macierz, którą sobie sama wypisałaś sprowadzić metodą eliminacji Gausa do postaci przekątnowej
wyjdzie
13 wrz 11:39
Marlenka: ok dziekuje
ale mam jeszzcze tak jedno pytanie dla pewnosci:wektory (1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)
tez generuja przestrzen, czy w zwiazku z tym tez moga byc rozwiazaniem?
13 wrz 11:45
Marlenka: aha czyli np z ta macierza to mam tak:
inny przyklad:
f(x1,...,x4)=(x1+x2+x3−x4,2x1+x2−x3+x4,x2+3x3−3x4)
Imf=Lin{(1,2,0),(1,1,1),(1,−1,3)}
oczywiscie sa liniowo zalezne wiec szukam dalej
| 1 1 1 | | 1 1 1 | |1 1 1 |
| 2 1 −1| ⇔ | 0 −1 −3| ⇔ |0 −1 −3|
| 0 1 3| |0 1 3 | | 0 0 0|
I teraz tak mam pytanie czyjak to zrobiłam w ten sbosób to tymi wektorami beda
(1,0,0,),(1,−1,0),
czy jednak (1,2,0),(1,1,1)?
13 wrz 11:59
Basia:
dajej: do postaci przekątnowej
w2+w1
1 0 −2
0 −1 −3
0 0 0
masz tylko dwa liniowo niezależne, ale jaką bazę tym wygenerujesz niestety już nie bardzo
pamiętam, a teraz nie mam już czasu, żeby podumać
13 wrz 12:08
Basia:
a co do pytania: wszystko jedno
13 wrz 12:08
Marlenka: ok dziekuje bardzo
13 wrz 12:14