całka monia: mam jeszcze jedną całkę, z którą kompletnie nie mogę sobie poradzić:

	dx
∫
	(x−1)√x2+1

monia: proszę o pomoc!

Basia: na pewno taka jest ta całka ? nic mi nie przychodzi do głowy

Trivial: Można rozwiązać, ale jest to żmudne. Podstawienie x = tgu.

monia: to ta całka, miałam ją na egzaminie teraz na sesji. i chciałam przerobić zadania. ja kompletnie z nią sobie nie radzę..

Basia: to jest całka postaci

	dx
∫
	(x−α)n*√ax2+bx+c

znajdź w literaturze w dziale "Całkowanie funkcji niewymiernych", bo pisać to tutaj to koszmar

Trivial:

	π		π		du
Weźmy x = tgu, dla u∊(−		,		). Zauważmy, że cosu > 0 i dx =		.
	2		2		cos2u

	dx		du     cos2u
J =∫		= ∫
	(x−1)√x2+1		(tgu−1)√tg2u+1

	sin2u		sin2u+cos2u		1
tg2u+1 =		+ 1 =		=
	cos2u		cos2u		cos2u

	1		1
√tg2u+1 =		=		.
	|cosu|		cosu

	du     cos2u		du
J = ∫		= ∫
	sinu   1   ( −1)   cosu   cosu		sinu−cosu

Podstawienie uniwersalne...

	u		2t		1−t2		2dt
t = tg		sinu =		cosu =		du =
	2		1+t2		1+t2		1+t2

	2dt     1+t2		2dt
J = ∫		= ∫		= ...
	2t   1−t2   − 1+t2   1+t2		t2+2t−1

Rozwiązujemy rozkładając na ułamki proste.

Trivial: Ale przyznaję, że ta całka nie jest całką na egzamin....

monia: o, bardzo dziękuję Trivial za pomoc. no cóż, takie rzeczy tylko na egzaminie pierwszego roku na AGH!

Trivial: Zapomniałem. Można zrobić też podstawieniem Eulera: √x²+1 = t−x → t = x+√x²+1 Dojdziemy do podobnej całki na końcu trochę szybciej. x² + 1 = t² − 2tx + x²

	t2−1		t2+1
x =		→ √x2+1 =
	2t		2t

	t2+1
dx =		dt
	2t2

	dx		t2+1   dt 2t2		2dt
∫		= ∫		= ∫		=
	(x−1)√x2+1		t2−1   t2+1   ( −1)   2t   2t		t2−1−2t

	dt		2		1		1
=(1) 2∫		=		∫(		−		)dt =
	(t−t1)(t−t2)		2√2		t−t2		t−t1

	√2		√2		t−t2
=		(ln|t−t2|−ln|t−t1|) + c =		ln|		| + c =
	2		2		t−t1

	√2		x+√x2+1−1−√2
=		ln|		| + c.
	2		x+√x2+1−1+√2

(1) t²−1−2t = 0 Δ = 4+4 = 8 √Δ = 2√2

	2−2√2
t1 =		= 1−√2
	2

t₂ = 1+√2. −t₁ + t₂ = 2√2 Nie wiem który sposób lepszy.