ostać parametryczna kajta:

	⎧	2x + y − 3z +1 = 0
Prosta k ma równianie	⎩	3x + 5y − z − 2 = 0

Przedstaw równanie w postaci parametrycznej. Dla jakiej wartości α prosta k jest prostopadła do wektora W=[ α, 5, −3 ]

AS:

	1 − t
W pierwszym równaniu przyjmuję −3z + 1 = t => z =
	3

Otrzymuję układ równań 2x+ y + t = 0

	1 − t
3x + 5y −		− 2 = 0 |*3
	3

−−−−−−−−−− 2x + y = −t 9x + 15y = 7 − t −−−−−−−−− Pierwsze równanie mnożę przez −15 i dodaję do drugiego

	14t + 7		2t + 1
−21x = 14t + 7 = x =		=
	−21		−3

Pierwsze równanie mnożę przez −9,drugie przez 2 i stronami dodaję

	7t + 14		t + 2
21y = 7t + 14 => y =		=
	21		3

Równanie parametryczne prostej

	2t + 1		t + 2		1 − t
x =		, y =		, z =		, t ∊ R
	−3		3		3

Z warunku prostopadłości: a*a1 + b*b1 + c*c1 = 0 mamy −3c + 3*5 + 3*(−3) = 0 => c = 2

Trivial: 1. Znajdujemy dwa dowolne punkty, które spełniają ten układ równań. Niech z = 0, wtedy:

	⎧	2x + y = −1
	⎩	3x + 5y = 2

Rozwiązujemy i dostajemy pierwszy punkt: A = (−1, 1, 0) Niech y = 0, wtedy:

	⎧	2x − 3z = −1
	⎩	3x − z = 2

Po rozwiązaniu: B = (1, 0, 1) 2. Znajdujemy wektor styczny do prostej. u = AB = (2, −1, 1) 3. Zapisujemy postać parametryczną. Możemy wykorzystać np. punkt B.

	⎧	x = 1 + 2t
	⎨	y = 0 − 1t	, t∊R.
	⎩	z = 1 + 1t

Wektory prostopadłe do prostej k muszą leżeć na płaszczyźnie o wektorze normalnym u, zatem muszą spełniać równanie tej płaszczyzny, zaczepionej w punkcie (x₀,y₀,z₀) = (0,0,0). Dlaczego w tym punkcie? Ponieważ wektory również zaczepione są w tym punkcie. H: 2x − 1y + 1z = 0 W = (α, 5, −3) Podstawiamy: 2α − 1*5 + 1*(−3) = 0 α = 4.