funkcja kwadratowa zakłopotany: Niech f będzie funkcją, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje największą wartość funkcji g(x)=|x²+m| w przedziale <−1;1>. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f.

Basia: y = x²+m opisuje parabolę; ramiona do góry; W(0,m) ⇒ wartością największą funkcji g(x) = |x²+m| w przedziale <−1;1> jest albo f(−1), albo f(1), albo rzędna W (gdy m≥0), albo rzędna W' symetrycznego do W względem osi OX (gdy m<0) no to mamy porównać g(−1) = g(1) = |1+m| i |m| czyli rozwiązać nierówności: |m+1| < |m| |m+1| ≥ |m| rozwiązuję |m+1| < |m| m∊(−∞; −1) ⇒ |m+1| = −(m+1) = −m −1 i |m| = −m −m−1 < −m 0 < 1 prawdziwe dla każdego m< −1 m∊<−1,0) ⇒ |m+1| = m+1 i |m|= −m m+1 < −m 2m < −1 m < −¹₂ prawdziwe dla m∊<−1, −¹₂) m∊<0,+∞) ⇒ |m+1|=m+1 i |m|=m m+1<m 0<−1 sprzeczność stąd wynika, że |m+1| < |m| ⇔ m∊(−∞, −¹₂) |m+1|≥|m| ⇔ m∊<−¹₂; +∞) szukana funkcja ma postać: |m| dla m∊(−∞, −¹₂) f(m) = |m+1| dla m∊<−¹₂; +∞)