Dla jakich wartości α ciąg jest rosnący? Moli:

	αn+3
Dla jakich wartości parametru α ciąg an=		jest rosnący?
	n+1

Anna: piszę

Anna: Ciąg jest rosnący, gdy zachodzi warunek: a_n+1 − a_n > 0

	α(n+1)+3		αn+α+3
an+1 =		=
	n+2		n+2

	αn+α+3		αn+3
Zatem: an+1−an =		−		=
	n+2		n+1

	(αn+α+3)(n+1)−(αn+3)(n+2)		αn2+αn+αn+α+3n+3−αn2−2αn−3n−6
		=		=
	(n+2)(n+1)		(n+2)(n+1)

	α−3
=
	(n+2)(n+1)

Z założenia n ∊N⁺, zatem mianownik otrzymanego wyrażenia jest dodatni.

	α−3
Czyli		> 0 ⇔ α−3 > 0 ⇒ α > 3
	(n+2)(n+1)

Trivial: Proponuję prostszy algebraicznie sposób:

	αn+3
an =
	n+1

Dzielimy αn+3 przez n+1 schematem Hornera: α 3 −1 −α α 3−α.

	3−α
an = α +		− rośnie gdy 3−α<0 → α>3.
	n+1