Proszę o pomoć w równaniu liniowym. mamba: Wyznacz równanie prostych stycznych do okręgu x²+y²=4 przechodzących przez punkt P(4, −2). Ja to robię tak: 1. Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkt P. −2=4a+b => b=−(2+4a) y=ax−(2+4a) 2. Odległość punktu O(0, 0) od prostej y=ax−(2+4a) równia się 2(r²=4). Tylko mam problem z zapisaniem funkcji linowej w postaci równania liniowego Ax+Bx+C=0. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak sprowadzić tą funkcję: y=ax−(2+4a) . Przenoszenie na druga strone nic nic daje bo wszystko się redukuje w liczniku równania na odległość punktu.

ICSP: y = ax − (2+4a) Tak napisałeś ⇔ ax − y − (2+4a) = 0 A = a B = −1 C = −(2+4a)

ICSP: i teraz wstawiamy :

	| a * 0 + −1 * 0 −(2+4a)|		2+4a		4
2 =		⇔ 2 =		⇔ a = 0 v a = −
	√a2+1		√a2+1		3

dla a = 0 otrzymujemy prostą y = −2 która jest funkcją stałą.

	4		4		10
dla a = −		otrzymujemy prostą: y = −		x +
	3		3		3

Mogłem się pomylić bo już przysypiam.

ICSP: dobra niech będzie. Dam jako oznakę że dobrze zrobiłem

mamba: To zadanko można jeszcze zrobić na okręgach ale to szybszy sposob niż bawić się w układy równań

ICSP: jak się wyśpię to spróbuję dodać jeszcze jeden sposób

mamba: Ej a o co chodzi we wzorze na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y0)? Jak to zrobić jeśli np mam jakąs tam prosta i 2 punkty lezace na tej rprostej. Można wyliczyć S i wspolczynnik kierunkowy obrocic z minusem i podstawisc punkt S a z tym wektorem t oo co biega?

ICSP: wektorów nie używam Może Trivial odpowie ci na to pytanie.

mamba: Aha może akurat zajrzy

Trivial: Mógłbyś podać ten wzór, bo nie wiem jak on wygląda?

mamba: Proszę bardzo tutaj masz ten wzór: p (x− x0)+ q(y− y0) = 0. Chyba już wiem o co biega. Jak ma się punkty na lezące do prostej to liczymy wektor tych 2 punktów i środek odcinka AB: S=(¹⁻⁶₂, ⁴⁺³₂) S=(−⁵₂, ⁷₂) A = (1,4) i B = (− 6,3 ), więc wektor AB=v=[−1−6, 3−1], czyli v=[−7, 1] Teraz podstawiamy do wzorku: −7*(x+⁵₂)−1*(y−⁷₂)=0 m prostą − 7x−³⁵₂−y+⁷₂=0, co po sprowadzeniu do postaci y=ax+b otrzymujemy y=−7x−14, co jest prosta prostopadla przechodzaca przez S do prostej przechodzaccej przez A i B.

ICSP: Wyznacz równanie prostych stycznych do okręgu x²+y²=4 przechodzących przez punkt P(4, −2). najpierw wyznaczamy prostą: −2 = 4a + b ⇔ b = −2 −4a czyli prosta ma równanie: y = ax − 2 − 4a zapisujemy układ równań: y = ax − 2 − 4a x² + y² = 4 teraz pierwsze równanie podnosimy do kwadratu: y² = a²x² + 4 + 16a² − 4ax − 8a²x + 16a. Porządkujemy: y² = a²x² −x(4a+8a²) + 16a² + 16a + 4 Teraz wstawiamy to do pierwszego równania: x² + a²x² −x(4a+8a²) + 16a² + 16a + 4 = 4 x²(a²+1) −x(4a+8a²) + 16a² + 16a = 0 liczymy deltę: Δ = (4a+8a²)² −4(a²+1)(16a²+16a) = 16a² + 64a³ + 64a⁴ − 4(16a⁴ + 16a³ + 16a² + 16a) = 16a² + 64a³ + 64a⁴ − 64a⁴ − 64a³ − 64a² − 64a = −48a² − 64a

	4
−48a2 − 64a = 0 ⇔ −a(48a + 64) = 0 ⇔ a = 0 v a = −		.
	3

snake: Tak to jest właśnie ten inny sposób dość żmudny i łatwo o pomyłkę w działaniu Ja pokaże jeszcze inny. 1. Liczymy odległość |PO| , gdzie P(4, −2) i O(0, 0) √(0−4)²+(0+2)²=√16+4=√20 |PO|²=r₂= (√20)²=20 2. Robimy równanie okręgu o środku w punkcie P(4, −2) i promieniu równym |PO|. (x−4)²+(y+2)²=20 3. Bierzemy część wspólną okręgu 1 i 2 dzięki czemu wyliczymy punkty styczności.

⎧	x2+y2=4
⎩	(x−4)2+(y+2)2=20

Nie liczyłem tym sposobem bo mi się nie chciało ale powinno wyjść Jak amsz casz to możesz obliczć.

mamba: Tak ja zrobiłem tym sposobem co snake i znam go. Jest bardzo przydatny w wielu typach zadań warto zapamietac

ICSP: ja tak się spytam czy odległość różowego punktu od zielonego jest równa odległości czerwonego od zielonego? i drugie pytanie: czy te różowe punkty są miejscami styczności?

mamba: 1. Nie są równe. Odległość czerwonego od zielonego to ma być promień nowego koła. Ale na tym rysunku tak to wygląda jak by były równe 2. Tak myślę, że snake właśnie po przez te 2 różowe kropki chciał pokazać punty stycznośći ale nie jestem pewien Niech wypowie się autor

snake: Tak mamba dobrze myślisz a twoje słowa prawdę głoszą

Trivial: A nie prościej wyprowadzić wzór? Jeżeli: (x−S_x)² + (y−S_y)² = R² P = (P_x, P_y). x₀ = P_x − S_x y₀ = P_y − S_y k = √(x₀²+y₀²)/R² − 1 Wtedy:

	x0+ky0		x0−ky0
a1 =		a2 =
	y0−kx0		y0+kx0

Wiedza tak oczywista, że bez dowodu.