EKSTREMA - PROSZĘ O SPRAWDZENIE
tomek: f'x = 3x2−6x−6y−36
f'y = 2y−6x+24
f"xx = 6x−6
f"xy = −6
f"yx = −6
f"yy=2
3x2−6x−6y−36=0 /:3
2y−6x+24=0 /:2
x2−2x−2y−12=0
y−3x+12=0
y=3x−12
x2−2x−2(3x−12)−12=0
x2−8x+12=0
Δ=64+4*12 = 4*4*4+4*4*3 = 16(4+3)=16*7
√Δ = 4√7
8−4√7
x1=
= 4−2√7
2
y1=12−6√7−12=−6√7
8+4√7
x2=
= 4+2√7
2
y2=12+6√7−12=6√7
f"xx(x1,y1) = 24−12√7−6 = 18−12√7
W1 = 18−12√7 −6
−6 2
= 36−24√7−36=−24√7<0
czyli w punkcie (4−2√7;−6√7)
nie ma ekstremu,
f"xx(x2,y2) = 24+12√7−6 = 18+12√7
W2 = 18+12√7 −6
−6 2
= 36+24√7−36 = 24√7>0
czyli w punkcie (4+2√7;6√7) jest ekstr.lokalne
i jest to minimum bo f"(4+2√7;6√7)>0
Mam policzoną deltę ale chyba żle bo powinno wyjśc 16 noi wtedy wszytko sie zmieni x1 bedzie 1
a x2 bedzie 3
? DObrze myśle czy zle
ICSP: Metody rozwiązywania równań kwadratowych:
Analizujemy równanie x
2 − 8x + 12 = 0
1.
Metoda standartowa
x
2 − 8x + 12
Δ = 64 − 48 = 16
√Δ = 4
2.
Wzory Viet'a
Ta metoda jest najczęściej stosowana gdy współczynnik a jest równy 1
x
1 + x
2 = 8
x
1*x
2 = 12
Z tego można bardzo szybko odczytać że x
1 = 2, x
2 = 6
3.
Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias
x
2 − 8x + 12 = x
2 − 2x − 6x + 12 = x(x−2) − 6(x−2) = (x−6)(x−2)
x = 6 , x = 2
4.
Twierdzenie Bezout'a
x
2 − 8x + 12
dzielniki wyrazu wolnego : 1,2,3,4,6,12 (no i oczywiście te ujemne)
sprawdzamy dal 1
1 − 8 + 12 ≠ 0
sprawdzamy dla dwójki:
4 − 16 + 12 = 0
Liczba 2 jest pierwiastkiem tego trójmianu.
Teraz z własności: x
1 + x
2 = 8 wyliczam drugi pierwiastek. Ostatecznie: x
1 = 2, x
2 = 6
5.
Metoda zgadywania
Zgaduję że pierwiastki to x
1 = 2 oraz x
2 = 6
6.
Metoda wzoru na różnicę kwadratów
x
2 − 8x + 12 = x
2 − 8x + 16 − 4 = (x−4)
2 − 2
2 = (x−4−2)(x−4+2) = (x−6)(x−2)
7.
Sposób na Triviala
x
2 − 8x + 12
zapisujemy to w postaci wzorów Viet'a
x
1 + x
2 = 8
x
1*x
2 = 12
Otrzymaliśmy układ równań. Zaczynamy go rozwiązywać.
x
1 = 8−x
2
(8−x
2)*x
2= 12 ⇔ (x
2)
2 − 8x
2 + 12 = 0
Wprowadzamy pierwszą zmienną pomocniczą: t = x
2
t
2 − 8t +12 = 0
x
1 + x
2 = 8
x
1*x
2 = 12
Otrzymaliśmy układ równań.
x
1 = 8−x
2
(8−x
2)*x
2= 12 ⇔ (x
2)
2 − 8x
2 + 12 = 0
Wprowadzamy kolejną zmienną pomocniczą: u = x
2
u
2 − 8u + 12 = 0
...
Po wykorzystaniu wszystkich możliwych literek w alfabecie:
ą
2 − 8ą + 12 = 0
Trivial zauważa że z tych wzorów Viet'a można odczytać pierwiastki:
ą
1 = 6, ą
2 = 2
Zaczyna podstawiać
ą = ć
ć = 6 v ć = 2
Następnie Trivial podstawia kolejne literki i otrzymuje ostatecznie x
1 = 2 v x
2 = 6
Według mnie metoda dobra tylko troszkę długa.
Metoda do okoła świata