Olimpiada Matematyczna Vax: LXIII Olimpiada Matematyczna Przed chwilą na stronie www.om.edu.pl ukazały się zadania, zachęcam wszystkich licealistów (i gimnazjalistów ) do startu, link do zadań: http://www.om.edu.pl/zadania/om/om63_1.pdf Jednocześnie apeluję do użytkowników aby zapoznać się z tymi zadaniami i nie odpowiadać w tematach w których ktoś będzie je dawał, próbując oszukiwać. Życzę powodzenia i pozdrawiam!

ICSP: :(( Pierwszy rok studiów jestem

Vax: W sumie pierwsza seria 1 etapu już się skończyła, więc jak ktoś ma jakieś pytania/wątpliwości/chce się pochwalić rozwiązaniem to może spokojnie pisać

Grześ: Mnie np. interesuje sposób w jaki Ty, Vax wykazałeś 2 zadanko z kwadratami liczb całkowitych. Ja napisałem dośc rozbudowany dowód i zastanawiam się czy czasem nie było krótszego sposobu

Vax: 2^x + 5^y ma być kwadratem pewnej liczby całkowitej (tutaj naturalnej), niech to będzie jakieś s, 2^x+5^y = s², oczywiście lewa strona jest nieparzysta, więc s również musi być nieparzyste. Na początku zauważmy, że x musi być parzyste, istotnie, jeżeli x=4k+1 to 2^x + 5^y = 2^4k+1 = 2*16^k = 2 (mod 5), a 2 jest nieresztą kwadratową modulo 5 skąd sprzeczność, jeżeli x=4k+3 to 2^x+5^y = 2^4k+3 = 8*16^k = 8 = 3 (mod 5) ale 3 również jest nieresztą kwadratową modulo 5, czyli x jest parzyste czyli dla pewnego naturalnego k, x = 2k. Zauważmy teraz, że y musi być nieparzyste, istotnie, jakby było parzyste (dla pewnego n, y = 2n) wtedy: 2^x+5^y = 2^2k + 5²ⁿ = 4^k + 25ⁿ = 1^k+1ⁿ = 2 (mod 3) skąd sprzeczność, bo 2 jest nieresztą kwadratową modulo 3, czyli dla pewnego n, y = 2n+1. Musi zajść dla pewnego s 2^x+5^y = s² ⇔ 2^2k + 5^y = s² ⇔ 5^y = (s−2^k)(s+2^k) Ale ((a,b) = nwd(a,b)): (s−2^k , s+2^k) = (s−2^k , 2^k+1) = 1 (bo s−2^k jest nieparzyste) czyli musi zajść: s−2^k = 1 ⇔ s=2^k+1 oraz s+2^k = 5^y ⇔ 2^k+1+2^k = 5^y ⇔ 2^k+1+1 = 5^y. Łatwo zauważyć, że 2^x = 4 (mod 5) wtedy i tylko wtedy gdy dla pewnego a zachodzi x = 4a+2. 2^k+1 + 1 = 5^y, czyli 2^k+1+1 = 0 (mod 5) ⇔ 2^k+1 = 4 (mod 5) skąd k+1 = 4a+2 ⇔ k =4a+1, ale wtedy: 2^k+1+1 = 5^y ⇔ 2^4a+2 = 5^y−1 = 4(1+5+5²+...+5^y−1) /:4 ⇔ 2^4a = 1+5+5²+...+5^y−1, ale y jest nieparzyste, więc po prawej stronie mamy nieparzystą sumę liczb nieparzystych, co będzie nieparzyste, czyli lewa strona też ma być nieparzysta, skąd 2^4a= 1 ⇔ a=0 ⇒ k=1 czyli w końcu x = 2k = 2, wtedy musi być y=1, skąd jedyną parą liczb całkowitych dodatnich spełniających tezę jest para (x,y) = (2,1)

Vax: A Ty w jaki sposób to robiłeś ?

Godzio: Heh, fajnie by było umieć ruszyć takie zadania