Całki obliczanie objętości Paula: Mam prośbę mógłby mi ktoś powiedzieć jaka będzie funkcja z góry a jaka z dołu dla zadania o treści: Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu krzywej y=lnx dookoła osi OX dla x od 1 do e Narysowałam to i wyszło mi cos takiegox Sorki za brzydki rysunek ale to tylko tak dla orientacji No wiec organiczenie z góry to bedzie lnx a z dołu to −lnx?

AS: A po co ograniczenia z góry czy z dołu. Ograniczenia na osi Ox to x1 = 1 i x2 = e Wzór potrzebny do obliczenia objętości to V = π∫_x1^x2 y²dx

Paula: a jak bedzie wygładał wynik całki lnx podniesiony do kwadratu

AS: J = ∫(lnx)²dx u = (lnx)² dv = dx

	2
du =		lnx , v = x
	x

J1 = u*v − ∫vdu = x*(lnx)² − 2∫lnxdx = x(lnx)² − 2J2 J2 = ∫lnxdx u = lnx dv = dx du = dx/x , v = x J2 = xlnx − ∫x*dx/x = xlnx − x J = x(lnx)² − 2(xlnx − x) j = x(lnx)² − 2xlnx + 2x

Ewelina: Czy ktoś potrafi obliczyc objetosc bryly ograniczonej krzywymi z= x² + y² − 2 i z={x² + y²}

Krzysiek: może i by ktoś potrafił ale jaki ma wzór druga krzywa?

Ewelina: Czy ktoś potrafi obliczyc objetosc bryly ograniczonej krzywymi z= x² + y² − 2 i z=pierwiastek(x²+y²)

Ewelina: dasz rade?

Ewelina: z=√x² + y²

Krzysiek: przejdź na współrzędne biegunowe i zrzutuj tą bryłę na płaszczyznę OXY

Ewelina: a jesteś mi to w stanie rozwiązać i przesłać to zadanie? bo jak mam to sama rozwiązać to ciężko, a mając już rozwiązane prędzej zrozumiem jak się je dokładnie robi.

Krzysiek: x=rcosδ y=rsinδ |J|=r objętość tej bryły to: ∫₀^2π (∫₀² (r−r² +2)r dr )dδ

Ewelina: i teraz przez to r wymnozyc i obliczyc całke pierwsze po dr?

Krzysiek: tak, możesz też zauważyć, że zmienne są rozdzielone i całkę podwójną zamienić na iloczyn tych całek

Ewelina: ale z tej całki po dr wyszło mi 8/3 także jak mam ją podstawić pod dδ?

Ewelina: nic z tego dobrego nie wyjdzie

Krzysiek: napisałem, że zmienne są rozdzielone i z tej całki po 'dr' właśnie musiała wyjść stała a przecież ∫₀^2π 8/3 dδ =8/3 *2π

Ewelina: i to jest juz wszystko tak?

Krzysiek: jeżeli dobrze policzyłaś całkę to tak.

Ewelina: a mógłbyś mi jeszcze wytłumaczyć skąd wzieły się takie granice całkowania? całka po 'dδ' chyba zawsze będzie od 2π do 0 tak? a ta granica po całce 'dr'?

Krzysiek: jak zrzutujesz ta bryłę na płaszczyznę OXY to wyjdzie koło o promieniu r=2 stąd r∊[0,2] lub: porównujesz ze sobą równania tych krzywych czyli: √r² =r² −2 r≥0 czyli: r=r² −2 i wyliczasz

Krzysiek: a funkcja podcałkowa jest taka, ponieważ z=√x² +y² przyjmuje większe wartości od z=x² +y² −2 w tym kole o promieniu 2 stąd: r−(r² −2) i poza nawiasem jest jeszcze 'r' i to jest jakobian

Ewelina: narazie to jakoś ciężko mi to zrozumieć, ale na spokojnie może się uda. DZIĘKUJE ZA POMOC !

NK: A jesteś pewny że tam w całce po dr będzie przedział od 0 do 2 a nie do √2 ?

Krzysiek: najważniejszy jest rysunek oczywiście to jest jakby spojrzenie z boku, np. czerwony wykres to stożek (z=√x² +y² ) a niebieski to paraboloida z=x² +y² −2 a szary okrąg to rzut na płaszczyznę OXY

Ewelina: Dziękuje !