równanie różniczkowe gg: oblicz równanie różniczkowe : y''+4y'+4y=3e^−2x , przy warunkach początkowych y(0)=0 i y'(0)=0

Jack: Równania ch−czne: λ²+4λ+4=0 (λ+2)²=0 λ₁=λ₂=−2 Stąd układ fundamentalny całki ogólnej: y(x)_♦=c₁e^−2x+c₂xe^−2x. Całkę szczególną odgadniemy: y_♠(x)=x²Ae^−2x y_♠'(x)=2xAe^−2x−2x²Ae^−2x y_♠''(x)=2Ae^−2x−4xAe^−2x−4xAe^−2x+4x²Ae^−2x=2Ae^−2x−8xAe^−2x+4x²Ae^−2x Stąd: 2Ae^−2x−8xAe^−2x+4x²Ae^−2x+4(2xAe^−2x−2x²Ae^−2x)+4x²Ae^−2x=3e^−2x 2Ae^−2x−8xAe^−2x+4x²Ae^−2x+8xAe^−2x−8x²Ae^−2x+4x²Ae^−2x=3e^−2x 2Ae^−2x=3e^−2x

	3
A=
	2

Zatem ostatecznie:

	3
y(x)=c1e2x+c2xe−2x+		x2e−2x
	2

gg: oki dzięki

Jack: zapomniałem o warunkach początkowych... ale wystarczy teraz podstawić dane i wyznaczyć jedno równanie, potem policzyć pochodną i znów zastosować dane, żeby zbudować drugie równanie.