geometria onnn: Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC,|kąt przy wierzcholku A|wiekszy niż 90 stopni. Ze środka P boku AC prowadzimy odcinek PP1 prostopadły do boku BC (P1 należy do BC). Nastepnie ze środka Q boku BC prowadzimy odcinek QQ1 prostopadły do boku AC (Q1 należy do prostej.AC). Uzasadnij, że punkt przecięcia się prostych PP1 i QQ1 należy do prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka C.

Vax: Przeliczymy to analitycznie Połóżmy układ współrzędnych w taki sposób, aby BC leżało na osi OX, a punkt A na osi OY pod osią OX, dodatkowo przyjmijmy taką jednostkę, aby A(0;−2), przyjmujemy, że B(2b_x , 0) , C(2c_x , 0), oczywiście b_x , c_x ≠ 0 (jeżeli któreś by było równe 0 to dostalibyśmy trójkąt prostokątny, który kąta rozwartego nie może mieć) Punkt P ma wówczas współrzędne P(c_x , −1), czyli P₁(c_x ; 0), skąd PP₁ wyznacza prostą x=c_x. Punkt Q ma współrzędne Q(b_x+c_x , 0), prosta AC ma postać:

	x
2cx(y+2) = 2x ⇔ y =		−2
	cx

Czyli prosta prostopadła do AC ma postać y = −c_x*x + b, wstawiamy współrzędne punktu Q i łatwo wyznaczamy, że prosta prostopadła do AC przechodząca przez Q ma postać y = −c_x*x+c_x(b_x+c_x). Czyli punkt X będący punktem przecięcia prostych PP₁ i QQ₁ ma współrzędne (c_x , b_xc_x), pozostaje pokazać, że należy on do prostej prostopadłej do AB przechodzącej przez punkt C. Prosta AB ma postać:

	x
2bx(y+2) = 2x ⇔ y =		−2, czyli prosta prostopadła do niej ma postać y = −bx*x+b,
	bx

wstawiając współrzędne punktu C wyznaczamy niewiadomą b i widzimy, że nasza prosta ma postać: y = −b_x*x+2b_xc_x, sprawdzamy, czy należy do niej punkt X(c_x , b_xc_x): b_xc_x = −b_xc_x+2b_xc_x ⇔ 0=0, CND

BAJLA: Jeśli połączymy punkty P i Q (będące środkami boków trójkąta ABC) to otrzymamy odcinek równoległy do odcinka AB (równy połowie jego długości −co w tym zadaniu jest nieistotne); wtedy otrzymamy trójkąt PQC, w którym prosta PP1 jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka P, QQ1−wysokość poprowadzona z wierzchołka Q zaś prosta będąca wysokością trójkąta ABC (poprowadzona z wierzchołka C) jest jednocześnie wysokością w trójkącie PQC ( skoro odcinki PQ i AB są równoległe, a prosta poprowadzona z pkt−C byłą prostopadła do AB jest też prostopadła do PQ, czyli jest wysokością) Korzystając z tw., że proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, udowodniliśmy, że punkt przecięcia się prostych PP1 i QQ1 należy do prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka C.