, xXx: ∫ √36−x² dx = ?

ZKS:

	1		x
∫ √36 − x2 dx =		x√36 − x2 + 18arcsin		+ C
	2		6

Trivial:

	cos2φ+1
∫√R2−x2dx =(1) ∫ydx = ∫Rcosφ*Rcosφdφ = R2∫cos2φdφ =(2) R2∫		dφ =
	2

	R2		sin2φ		R2		x√R2−x2		x
=		(		+φ)+c =(1),(3)		[		+arcsin(		)]+c =
	2		2		2		R2		R

	1		R2		x
=		x√R2−x2 +		arcsin(		) + c.
	2		2		R

(1) Jest to ukryte równanie okręgu y = √R²−x². Stosujemy podstawienie (współrzędne biegunowe):

	x		x
x = Rsinφ → sinφ =		→ φ = arcsin(		)
	R		R

dx = Rcosφdφ

	√R2−x2
y = Rcosφ → cosφ =		.
	R

(2) cos2φ = cos²φ − sin²φ = 2cos²φ − 1

	cos2φ+1
cos2φ =		.
	2

	sin2φ		1		x		√R2−x2		x√R2−x2
(3)		=		*2sinφcosφ =(1)		*		=		.
	2		2		R		R		R2