Całeczka .:

	dx
∫
	(x2−1)

Proszę o szczegółowe rozwiązanie, nie tylko sam wynik. Z góry dziękuję

Godzio:

1		1		A		B
	=		=		+		=
x2 − 1		(x − 1)(x + 1)		x − 1		x + 1

	A(x + 1)		B(x − 1)
=		+		=
	(x − 1)(x + 1)		(x + 1)(x − 1)

	x(A + B) + A − B
=
	(x + 1)(x − 1)

Z równości mamy:

	⎧	A + B = 0
x(A + B) + A − B = 1 ⇒	⎨		⇒
	⎩	A − B = 1

	⎧	A = 12
	⎨
	⎩	B = − 12

	dx		12		12		1
∫		= ∫(		−		)dx =		(ln(|x − 1| − ln|x + 1|)
	x2 − 1		x − 1		x + 1		2

+ C =

	1		x − 1
=		ln|		| + C
	2		x + 1

xXx:

	dx		dx		dx		dx
∫		= ∫		= ∫		− ∫		=
	(x2−1)		(x+1)(x−1)		2(x−1)		2(x+1)

1

dx

1

dx

1

dt

1

du

=

∫

−

∫

=

∫

−

∫

=

2

x−1

2

x+1

2

t

2

u

	1		1		1
=		ln|x−1| −		ln|x+1| + C =		( ln|x−1| − ln|x+1|) + C
	2		2		2

// t = x − 1 u = x + 1 // // dt= dx du= dx // Inna metoda

.: Przeanalizowałem i zrozumiałem Jeszcze raz wielkie dzięki!

Godzio:

Trivial: Moja metoda na szybkie rozkładanie na ułamki proste niektórych nieskomplikowanych przykładów, takich jak ten:

1		1
	=
x2−1		(x+1)(x−1)

Sprawdźmy ile wynosi suma (x+1) i (x−1)... (x+1) + (x−1) = 2x − zależne od x, a w liczniku nie ma x − niedobrze... Sprawdźmy ile wynosi różnica (x+1) i (x−1)... (x+1)−(x−1) = 2 − niezależne od x! Aha! Teraz wystarczy pomyśleć przez co pomnożyć 2, aby otrzymać 1 (licznik) i gotowe.

	1
Odpowiedź:		.
	2

	1		1		(x+1)−(x−1)		1		1		1
A więc		=		*		=		*(		−		)
	(x+1)(x−1)		2		(x−1)(x+1)		2		x−1		x+1

Metoda działa tylko w niektórych przypadkach, ale jest znacznie szybsza niż układ równań. Gdy dojdzie się do wprawy, można pomijać krok pośredni. Ja zawsze sprawdzam tak jak napisałem przed przejściem do mechanicznego liczenia układu równań.

dama: Można wyznaczać potrzebne współczynniki w rozkładzie wyrażenia wymiernego na ułamki proste bez stosowania układu równań. Przykład.

1		A		B
	=		+		/*(x2 − 1)
x2 − 1		x − 1		x + 1

1 = A(x + 1) + B(x − 1) Dobieramy wartości x tak, aby wyrażenia w nawiasach się zerowały:

	1
x = −1: 1 = −2B ⇒ B = −
	2

	1
x = 1: 1 = 2A ⇒ A =
	2