środek ciężkośći Karolynka07: środek ciężkośći jednorodnej półkuli 0≤y≤√1−x²−z²

Trivial: Z oczywistych powodów, x_śm = z_śm = 0. Parametryzacja kuli: x = rcosφcosθ

	π		π
Φ: y = rsinφcosθ (r, φ, θ)∊[0, R]×[0, π]×[−		,		]
	2		2

z = rsinθ JacΦ = r²cosθ.

	∫ydm
yśm =
	m

	m		m		3m
ρ =		=		=		.
	V		1   4   * πR3 2   3		2πR3

dm = ρdV ∫ydm = ∭yρdV = ρ∭ydV = ρ∭rsinφcosθ*r²cosθdrdφdθ = ρ∫r³dr∫sinφdφ∫cos²θdθ =

	R4		cos2θ+1		ρR4		sin2θ
= ρ*		*(−cosπ + cos0)*∫		dθ =		*[		+θ] =
	4		2		4		2

	ρπR4		3m		πR4		3
=		=		*		=		mR.
	4		2πR3		4		8

	∫ydm		3
yśm =		=		R.
	m		8

Pewnie są na to jakieś twierdzenia, ale ja ich nie znam.