pomóżcie ania: W trójkącie ABC ze środka każdego boku prowadzimy odcinki prostopadłe do dwóch boków. Wykaż że: a) Odcinki te przecinają się parami na wysokościach trójkąta ABC b) Odcinki poprowadzone do tego samego boku mają równe długości i długość każdego z nich równa się połowie długości odpowiedniej wysokości trójkąta Bardzo proszę chociaż o rysunek.

ania: proszę o pomoc

TPB: Twardy orzech do zgryzienia

ania: a dałbyś radę to chociaż narysować?

orzech:

ania: dzięki za rysunek

ania: czy można to rozpisać i udowodnić matematycznie?

TPB: Można to udowodnić, ale pytanie brzmi jak. Wczoraj już kombinowałem, dzisiaj planowałem się przymierzać, ale zrezygnowałem. Będzie weekend, będę robił. Zobaczymy czy coś z tego wyjdzie. A tymczasem odświeżam, jest południe, to rozkminiacze geometrii pewnie jacyś się na forum znajdą i mam nadzieję, że zainteresują. a jak nie, to ja powalczę, ale jutro. Dzisiaj muszę już kończyć z matmą

roman: to jest z matmy pp czy pr

ania: poziom podstawowy

roman: nie wiem czy to może się na coś przydać ale ja bym tak próbował .... http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cevy

Zofia: Warto zauważyć, że środki boków trójkąta: X, Y i Z są wierzchołkami trójkątów przystających: AXZ, XBY, ZYC i XYZ. Ortocentra trzech pierwszych trójkątów przecinają się w punktach: K, L, M. Trzeba wykazać, że te ortocentra leżą na wysokościach trójkąta ABC, który jest podobny do tych trzech trójkątów (AXZ, XBY, ZYC) w skali 2:1.

roman: można i tak ....

Vax: a) D,E są odpowiednio środkami boków AC i BC, skąd wynika, że AB || DE, trójkąty ABC i DEC są podobne, czyli wysokość CF w trójkącie ABC pokrywa się z wysokością CP w trójkącie DEC, więc aby pokazać, że DY , EX , CF przecinają się w jednym punkcie wystarczy pokazać, że DY , EX , CP przecinają się w 1 punkcie, co jest równoważne pokazaniu, że wysokości w dowolnym trójkącie przecinają się w jednym punkcie. Teraz z 2 rysunku widzimy, że z wierzchołka F widać AB pod tym samym kątem co z wierzchołka E, skąd na czworokącie ABEF da się opisać okrąg, niech to będzie okrąg o₁, analogicznie na BCFD da się opisać okrąg o₂ oraz na CADE da się opisać okrąg o₃. Zauważmy teraz, że oś potęgową okręgów o₁ i o₂ wyznacza wysokość BF, podobnie osie potęgowe o₂, o₃ oraz o₁ , o₃ wyznaczają pozostałe wysokości. Osie potęgowe 3 okręgów których środki nie są współliniowe są współpękowe, cnd. Analogicznie dowodzimy, że pozostałe odcinki przecinają się na pozostałych wysokościach.

	1
b) Wynika to bezpośrednio z tego, że AB || DE, to, że |DS| =		|CF| wynika bezpośrednio z
	2

	|AD|		1
podobieństwa trójkątów ASD i AFC, które są podobne w skali k =		=		,
	|AC|		2

podobnie z pozostałymi bokami.