Oblicz pole trójkąta ABC, jeśli : King James: A=(−3,−1) B=(−1,2) C= (1,−2) Proszę także o przebieg obliczeń ponieważ nie mam pojęcia, w ogóle jak to zrobić. Z góry dziękuję!

Gustlik: A=(−3,−1) B=(−1,2) C= (1,−2) Skorzystam ze wzoru wektorowego − NAJPROSTSZY SPOSÓB:

	1
P=		|d(AB→, AC→)|
	2

gdzie d(AB^→, AC^→) − wyznacznik wektorów AB^→ i AC^→. Wyjaśnienie tej metody tutaj: https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=i18 Liczę współrzedne tych wektorów: AB^→=B−A=[−1−(−3), 2−(−1)]=[2, 3] AC^→=C−A=[1−(−3), −2−(−1)]=[4, −1] Liczę wyznacznik wektorów: d(AB^→, AC^→)= | 2 3 | | 4 −1 | =2*(−1)−3*4=−2−12=−14 (mnożę na krzyż − pierwsza przekątna minus druga przekątna)

	1
P=		|d(AB→, AC→)|
	2

	1
P=		*|−14|=7
	2

Odp. P=7

Lelo: W sumie można też zastosować ciekawy wzorek...

	1
P =		*|(Xb − Xa)(Yc − Ya) − (Yb − Ya)(Xc − Xa)|
	2

	1
P =		*|(−1 − (−3))(−2 − (−1)) − (2 − (−1))(1 − (−3)) =
	2

	1		1
=		*|(−1 + 3)(−2 + 1) − (2 + 1)(1 + 3)| =		|2 * (−1) − 3 * 4| =
	2		2

	1		1		1
=		*|−2 − 12| =		* |−14| =		* 14 = 7
	2		2		2

Lelo: Zawsze możemy to też zrobić tak... Liczę długość odcinka |AB|, będzie to również długość podstawy trójkąta... |AB| = √(X_b − X_a)² + (Y_b − Y_a)² A=(−3,−1) B=(−1,2) |AB| = √[−1 − (−3)]² + [2 − (−1)]² = √(−1 + 3)² + (2 + 1)² = √2² + 3² = √13 Teraz wyznaczam równanie prostej AB i zapisuję je w postaci ogólnej... (X_b − X_a)(y − Y_a) = (Y_b − Y_a)(x − X_a) [−1 − (−3)][y − (−1] = [2 − (−1)][x − (−3)] (−1 + 3)(y + 1) = (2 + 1)(x + 3) 2(y + 1) = 3(x + 3) 2y + 2 = 3x + 9 2y = 3x + 9 − 2 2y = 3x + 7/:2

	3		7
y =		x +
	2		2

	3		7
−		x + y −		= 0
	2		2

Teraz korzystam ze wzoru na odległość punktu od prostej. Liczę odległość punktu C od prostej AB, która jest jednocześnie wysokością trójkąta opadającą na podstawę AB.

	|Ax0 + By0 + C|
d =
	√A2 + B2

	3		7
−		x + y −		= 0 C= (1,−2)
	2		2

	3   7   |− * 1 + 1 * (−2) + (− )|   2   2
d =		=
	3   √(− )2 + 12   2

	3   7   |− −2 − |   2   2		10   |−2 − |   2
=		=		=
	9   √ + 1   4		13   √   4

	|−2 − 5|		7		2		14
=		=		= 7 *		=		=
	√13   2		√13   2		√13		√13

	14√13
	13

Mając długość podstawy i wysokości mogę obliczyć pole trójkąta korzystając z podstawowego wzoru na jego pole...

	1		1		14√13
P =		* a * h =		* √13 *		=
	2		2		13

	1		14*13		1
=		*		=		* 14 = 7
	2		13		2

King James: Dzięki bardzo !

Gustlik: Lelo, nie, żebym krytykował te metody, ale zauważ, że ten Twój "ciekawy wzorek" wziął się z wyznacznika wektorów, czyli z "mojej" metody. Tylko ten "ciekawy wzorek" jest mniej strawny od wektorowego, a na pewno trudniejszy do zapamietania. Drugi spsób − dobry, ale "do Rzymu przez Krym". Twoje metody są dobre, ale skomplikowane i nieprzejrzyste dla uczniów. Pozdrawiam

Lelo: Nie ma problemu. Tyle, że ja pisałem maturkę w tym roku A matematyki na poważnie zacząłem się uczyć w 3 liceum Więc jak się chce, to się wszystko da

bart:

Basia: Gustlik wytłumacz może najpierw Kingowi Jamesowi co to jest wektor, jak się liczy jego współrzędne, jakie są prawa działań na wektorach i skąd się wziął wzór na pole, czyli po kolei:

	a*b*sinα
P =
	2

teraz jak w układzie współrzędnych policzyć sinus i cosinus kąta między wektorami (tu potrzebne tw.sinusów i cosinusów) jak już delikwent to wszystko zrozumie będzie mógł z tego skądinnąd bardzo przydatnego wzoru skorzystać ale zacznij od tego co to jest wektor, po kolega zapewne z podstawy i nie ma o tym pojęcia a dla tych, którzy o wektorach nie słyszeli i nawet nie wiedzą co to za stwór, metoda Lelo jest niestety jedyną możliwą do pojęcia, chociaż nie przeczę, że strasznie żmudna i sama jej serdecznie nie znoszę

krystek: A może by tak jeszcze jeden sposób z wzoru Herona .Obl długość każdego boku (mniejsza możliwośc popełnienia błędu) i mamy Pole . Gustlik −pozwól ,że zwróce Tobie uwagę −nie wszyscy są błyskotliwi −nie ujmując nikomu tutaj na forum. A jedyna słuszna droga żle mi sie kojarzy ,A Ty taka metodę stosujesz ,strofując wszystkich którzy maja inne podejście do zadania .Czy barta zapis ,który jest czytelny też zanegujesz?

Gustlik: Krystek bart zrobił tą samą metodą, co ja − obliczył za pomocą wyznacznika wektorów. Basiu − ja podałem link do strony z wyjaśnieniem metody. W dodatku w jednym z wątków wyjaśniam tę metodę jeszcze raz za pomoca iloczynu wektorowego, można wyszukać wyszukiwarką. Jeszcze jedno: skoro obecnie bez dowodów podaje się w szkole wiele wzorów, czego za "moich" czasów nie było, to dlaczego nie można podać wzoru wektorowego, który jest prosty jak konstrukcja cepa? Co do wektorów ja już nie raz pisałem, jak liczy się ich współrzędne, po to piszę: AB^→=B−A, co oznacz, że od współrzędnych punktu B trzeba odjąć współrzędne punktu A. Wszystko to jest wina tego debila do n−tej potęgi z MEN−u, który ułożył taki program, że wyciął większość potrzebnych wzorów i twierdzeń. Zreszta po to piszę o wektorach, żeby zachęcić uczniów do sięgnięcia, choćby nawet na tej stronie, po ten materiał z rozszerzeń, który powinien być na podstawie. A propos − czytałaś Basiu "mój" program? Tylko nauka wg tego programu gwarantuje sukces na maturze PODSTAWOWEJ, bo nauka wg oficjalnego programu to jazda po wyboistych, nieoznakowanych polnych dróżkach, gdzie łatwo jest zbłądzić. Taką polną dróżką są m.in. te metody obliczania pola trójkata zaprezentowane przez Lelo, a zwłaszcza ta druga, choć ten pierwszy wzór też długi i mało przejrzysty, można się pomylić przy wstawianiu współrzędnych. Dlatego nie polecam okrężnych metod, trzeba sie uczyć metod prostych, nawet jeżeli musimy sięgnąć do programu rozszerzonego, bo tak naprawdę to na rozszerzeniach robi się zadania prościej niż na podstawach − tak "madrze" skonstruowano program.

krystek: Gustlik ,ależ oczywiście ,Barta zapisał to prosto,któtko i zwiężle ilustrując. Kiedyś ,kiedys za moich czasów pradawnych było tak zapisywane,ale wówczas warunek równoleglości i prostopadłości,kąt między wektorami był w programie. .A jestem przeciwnikiem pisania wzorów podstawowych bez zrozumienia. Nie obraź się ,ale jestes młody gniewny− nie narzucaj wszystkim swojego zdania. Pamiętaj ,że są uczniowie przeciętni i wybitni −PATRZ→ VAX .

Gustlik: Ja niestety mam problemy z rysowaniem na tej stronie, jak chcę coś narysować, to mi kompa zawiesza nie wiem czemu. Dlatego więcej piszę, bo chcę opisem "zobrazować" metodę. Ponadto ja zachecam do zapoznania się z rachunkiem wektorowym, bo jest on prosty jak konstrukcja cepa i z niezrozumiałych względów został usunięty z poziomu podstawowego. Ja swoich uczniów uczę "starym" programem i dzięki temu rozumieją lepiej matmę. Poza tym matematyka jest trochę pod względem metodyki jak prawo. Stara rzymska zasada głosi: "ignorantia iuris nocet" co oznacza "nieznajomość prawa szkodzi". I podobnie w matematyce "NIEZNAJOMOŚĆ METOD SZKODZI". Dotyczy to również metod z poziomu rozszerzonego, które często ułatwiają rozwiązanie zadania z podstaw. Uważam, że lepiej jest raz wyprowadzić i pokazać prosty wzór, a potem go stosować, zwłaszcza, że zadania z matematyki są powtarzalne, a więc wyprowadzenie prostego wzoruczęsto jest po prostu opłacalne nawet czasowo, niż robić te kilkanaście takich samych zadań metodami "do Rzymu przez Krym", które rozumie co dziesiąty uczeń. Ja się nagadam, zleci cała lekcja, a uczeń jak nie umiał, tak nie umie, bo się myli w obliczeniach. I materiał nie przerobiony, jak należy, bo czasu za mało. To wygląda tak, jakby dać kierowcy godzinę czasu na przejazd z Warszawy do Piaseczna i kazać mu jechać przez Szczecin. Nie wyrobi się, chyba żeby wynajął samolot.

loll: loool