Zadanie kwiatuszek: Sześcian podzielono płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy na dwie bryły z których jedna ma pięć, a druga sześć ścian. Pole powierzchni całkowitej tej bryły, która ma pięć ścian jest równe połowie pola powierzchni sześcianu. Oblicz tangens kąta nachylenia płaszczyzny dzielącej sześcian do płaszczyzny podstawy.

Eta: Basia ! jak to rozwiązać? ( jakoś mi nie wychodzi) Masz pomysł?

Zbyszek: Ja może spróbuje przedstawić swój tok rozumowania: Dzielę sześcian płaszczyzną przez krawędź dolną podstawy i przechodze przez jedną ze ścian bocznych sześcianu gdzieś w 2/3 wysokości (to bez znaczenia, może być też po środku czy też w 1/3 długości) byle by tylko stworzyć w ten sposób dwie bryły o 5 ścianach i 6 ścianach. x-długość krawędzi sześcianu Pc sześcianu=6*x²=6x² Figura z 5 ścianami to graniastosłup trójkątny. x- wysokość graniastosłupa x- również jedna z przyprostokątnych trójkąta z-druga z przyprostokątnych w trójkącie y-przeciwprostokątna w trójkącie Oczywiście trójkąt jest podstawą graniastosłupa. tgα=z/x y²=(tgα*x)²+x² y=√(tgα*x)²+x² y=x*√(tgα+1) Teraz podstawiam: 1/3*6x²=x²*√tgα+1+x²+tgαx*x+(1/2)*2(tgα*x²) 3x²=x²*√tgα+1+2tgαx²+x² 2x²=x²*√tgα+1+2tgαx² |² 4x⁴=x⁴(tgα+1)+4tgαx⁴ 3x⁴=5tgα*x⁴ 5tgαx⁴=3x⁴ 5tgα=(3x⁴)/(x⁴) 5tgα=3 tgα=3/5 P.S. Proszę o sprawdzenie. Przepraszam za ewentualne błędy czy zgubione znaki ale proszę spojrzeć na godzinę i zneleźć się na odrobinę wyrozumiałości.Pozdrawiam.

Zbyszek: Proszę Basiu o zerknięcie.

Basia: Zbyszku ! Chyba za późno, żebym była w stanie to prześledzić. Jestem jednak pewna, że ta płaszczyzna równie dobrze może przeciąć dopiero górną podstawę sześcianu ( w byle którym miejscu różnym od przeciwległej kraswędzi). Nie wiem czy to to samo. Też mam graniastosłup o podstawie trójkatnej i graniastosłup, którego podstawą jest trapez. Policzę to, ale chyba dopiero jutro. No ewntualnie za jakąś godzinkę. Teraz muszę conieco w kuchni podziałać.

Zbyszek: Dziękuję i życzę spokojnej nocy

Bogdan: Uwagi: 1. y²=(tgα*x)²+x² y=√(tgα*x)²+x² y=x*√(tgα+1) tu powinno być y = x*√tg²α + 1, czyli pod pierwiastkiem ma być tg²α, a nie tgα oraz (drobiazg) niepotrzebny jest nawias 2. 1/3*6x² tu powinno być 1/2*6x², bo "połowa powierzchni sześcianu" 3. 2x²=x²*√tgα+1+2tgαx² tu aż się prosi, żeby podzielić obustronnie przez x², ponadto czytelniejszy byłby zapis 2x²tgα zamiast 2tgαx² 4. 2x²=x²*√tgα+1+2tgαx² |² 4x⁴=x⁴(tgα+1)+4tgαx⁴ tu po prawej stronie należało zastosować wzór skróconego mnożenia, czyli powinno być: 4x⁴ = x⁴(tgα + 1) + 4x⁴tgα√tgα + 1 + 4x⁴tg²α Dalej już nie ma potrzeby sprawdzać. PS. Zbyszku, dziękuję za miłe słowa w komentarzu do zadania z rombem.

Eta:

Basia: wszystko mi się zgadza, aż do tego momentu 2x²=x²*√tgα+1+2tgα*x² |2 4x⁴=x⁴(tgα+1)+4tgαx⁴ prawa strona po pierwsze gdzie podwojony iloczyn 1 i 2 po drugie ostatni wyraz to będzie 4x⁴*tg²α czyli 4x⁴ = x²*(tgα+1) + 4x⁴*tgα*√tgα + 1 + 4x⁴*tg²α trochę nieciekawie to wygląda więc może tak 2x²=x²*√tgα+1+2tgα*x² /:x² 2 = √tgα+1 + 2tgα 2 - 2tgα = √tgα + 1 / podnosimy do kwadratu 4 - 8tgα + 4tg²α = tgα + 1 4tg²α - 9tgα + 3 = 0 Δ = 81 - 48 = 33 √Δ = √33 tgα = (9+√33) / 2 lub tgα = (9 - √33) /2 wynik nieciekawy , ale możliwy (chyba, że teraz ja się pomyliłam) a nawet prawdopodobny; powinny wyjść dwa różne kąty jeden gdy płaszczyzna przecina przeciwległą ścianę boczną (Twój) drugi gdy płaszczyzna przecina górną podstawę (mój) ( w obu wypadkach wszystkie pozostałe obliczenia przebiegają identycznie) a i tu jest literówka 1/3*6x²=x²*√tgα+1+x²+tgαx*x+(1/2)*2(tgα*x²) nie 1/3 tylko 1/2 ale dalej było dobrze

Basia: oj Bogdan ma rację; ten błąd, o którym pisze przeoczyłam a to sporo zmieni 2x²=x²*√tg²α+1+2x²tgα /:x² 2 = √tg²α+1 + 2tgα 2 - 2tgα = √tg²α+1 i dopiero teraz obustronnie do kwadratu 4 - 8tgα + 4tg²α = tg²α + 1 3tg²α - 8tgα + 3 = 0 Δ = 64 - 36 = 28 = 4*7 √Δ = 2√7 i tak dalej

Zbyszek: Dziękuje za sprawdzenie. Prawdopodobnie masz racje Basiu z tymi możliwymi dwoma rozwiązaniami. Ale ja już dziś nie jestem w stanie zająć żadnego stanowiska. P.S. Wszystkim Paniom życzę Wszystkiego Najlepszego z Okazji Dnia Kobiet. Macie JUŻ swój dzień więc korzystajcie...ze SNU! Pozdrawiam i życzę dobrej nocy

Bogdan: Proponuję następujące rozwiązanie: Początek i oznaczenia jak u Zbyszka. x-długość krawędzi sześcianu P_c sześcianu = 6x² Figura z 5 ścianami to graniastosłup trójkątny. x - wysokość graniastosłupa x - również jedna z przyprostokątnych trójkąta z - druga z przyprostokątnych w trójkącie y - przeciwprostokątna w trójkącie α - miara kąta zawartego między x i y, α € (0^o, 45^o), tgα € (0, 1) tgα = z/x Pole figury z 5 ścianami: P_o = 2 * (1/2) * xz + x² + xy + xz P_o = 2xz + x² + xy P_o = (1/2)P czyli 2xz + x² + xy = (1/2) * 6x² 2xz - 2x² + xy = 0 dzielimy obustronnie przez x 2z - 2x + y = 0 z tw. Pitagorasa: y = √x² + z² √x² + z² = 2x - 2z podnosimy obustronnie do kwadratu x² + z² = 4x² - 8xz + 4z² 3x² - 8xz + 3z² = 0 dzielimy obustronnie przez x² 3 - 8*(z/x) + 3*(z²/x²) = 0 podstawiamy z/x = tgα i porządkujemy 3tg^α - 8tgα + 3 = 0 Δ = 28, √Δ = 2√7 tgα = (4 + √7) / 3 > 1 nie spełnia warunków zadania lub tgα = (4 - √7) / 3

Bogdan: Basiu, Eto i wszystkie panie - życzę zdrowia oraz radości nie tylko z zabawy z matematyką. Pozdrawiam i dobranoc

Eta: Dziękuję Bogdanie! Zapach Twoich kwiatów czuję nawet przez monitor komputera Pozdrawiam!

Basia: Dziękujemy bardzo ! Piękne kwiatki ! Jedna uwaga: oba spełniają warunki zadania. α może być większy niż 45⁰ płaszczyzna przetnie wówczas przeciwległą ścianę boczną (reszta bez zmian) dla α<45⁰ przetnie górną podstawę sześcianu tylko α=45⁰ nie spełnia warunków zadania

Bogdan: Dzień dobry. Basiu, zdefiniowałem kąt α następująco: α - miara kąta zawartego między x i y. Jeśli α > 45^o, to nadal będzie kątem między x i y, ale nie będzie już kątem w trójkącie, będzie kątem w trapezie, odcinek z nie będzie przyprostokątną przeciwległą do α. W podanym zadaniu polecenie brzmi: "oblicz tangens kąta nachylenia płaszczyzny dzielącej sześcian do płaszczyzny podstawy", ale nie do płaszczyzny dowolnej ściany sześcianu. Płaszczyznę podstawy rozumiem w ten sposób, że ściana sześcianu leżąca nieruchomo "na stole" to właśnie płaszczyzna podstawy, a wszystkie inne ściany sześcianu nie leżące na stole nie są płaszczyzną podstawy.

Bogdan: Jeśli odrzucimy założenie, że "dolną" bryłą jest bryła pięciościenna, a górną bryła z sześcioma ścianami, jak przyjąłem w swoim rozwiązaniu i ograniczymy się do stwierdzenia, że chodzi o płaszczyznę dzielącą sześcian na dwie bryły: jedną pięciościenną i jedną sześcienną, to wtedy nie ma znaczenia położenie tych brył względem siebie, na co zezwalają warunki zadania. Wówczas pozostawiając przyjęte oznaczenia stwierdzamy, że miara kąta nachylenia płaszczyzny dzielącej sześcian do płaszczyzny podstawy jest równa 90^o - α. Jeśli tgα = (4 - √7)/3 to tg(90^o - α) = ctgα = 1/tgα = 3/(4 - √7) = (4 + √7)/3 i to jest wynik, który również należy uznać i który w przedstawionym wyżej rozwiązaniu odrzuciłem. Podsumowując: dla α < 45^o → tgα = (4 - √7)/3, dla α > 45^o → tgα = (4 + √7)/3, są więc dwa rozwiązania, o których mówiła Basia.